Dimensión de Assouad

Dimensión de Assouad de un triángulo de Sierpinski. Para R=2 y r=1 $N_r(B_R(x)\cap E)=3={\left(\frac{2}{1}\right)}^{\alpha }$, entonces la dimensión puede ser $\frac{\log (3)}{\log (2)}$ como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch

En matemáticas — específicamente, en fractales — la dimensión de Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico. Fue introducida por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y posteriormente publicado en 1979, aunque ya había sido definida anteriormente por Georges Bouligand en 1928. Además de utilizarse para estudiar fractales, también se ha utilizado para estudiar aplicaciones cuasiconformales y problemas de encaje.

Definición

Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $E$ un subconjunto no vacío de $X$. Para $r>0$, sea $N_r(E)$ el menor número de bolas métricas de radio menor o igual a r con las que es posible recubrir el conjunto $E$. La dimensión de Assouad de $E$ se define como el $\alpha \ge 0$ ínfimo para el que existen constantes positivas $C$ y $\rho$ de modo que, siempre que

$0<r<R\le \rho ,$

se mantiene el siguiente límite:

$\underset{x\in E}{\sup }{N}_r(B_R(x)\cap E)\le C{\left(\frac{R}{r}\right)}^{\alpha }.$

La intuición subyacente a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera n "ordinaria", el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E se escalará como (Plantilla:Sfrac)ⁿ.

Lecturas relacionadas

• Plantilla:Cite journal Plantilla:MathSciNet
• Bouligand, M.G. (1928). "Ensembles impropres et nombredimensionnel", Bulletin des Sciences Mathématiques 52 , pp.320–344.