Distribución F

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución F, también conocida como distribución de Fisher-Snedecor (nombrada por Ronald Fisher y George Snedecor), es una distribución de probabilidad continua, aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

Definición

Sea $X$ una variable aleatoria continua y sean $m,n\in \mathbb{Z}$. Se dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución $F$ con $m$ y $n$ grados de libertad y escribimos $X\sim F_{m,n}$ si su función de densidad está dada por

$f(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m-2}{2}}}{{(1+\frac{mx}{n})}^{\frac{m+n}{2}}}$

para $x>0$.

La expresión anterior también suele escribirse como

$f(x)=\frac{1}{x\mathrm{B}(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\sqrt{\frac{(mx{)}^m{n}^n}{(mx+n{)}^{m+n}}}$

donde $\mathrm{B}$ es la función beta.

Propiedades

Si $X\sim F_{m,n}$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades:

Media

La media de $X$ es

$\mathrm{E}[X]=\frac{n}{n-2}$

para $n>2$.

Varianza

La varianza de $X$ está dada por

$\mathrm{Var}(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$

para $n>4$.

Teorema

Sean $U$ y $V$ variables aleatorias independientes tales que $U\sim {\chi }_m^2$ y $V\sim {\chi }_n^2$, esto es $U$ y $V$ siguen una distribución chi-cuadrado con $m$ y $n$ grados de libertad respectivamente entonces la variable aleatoria

$\frac{U/m}{V/n}\sim F_{m,n}$

donde $F_{m,n}$ denota la distribución $F$ con $m$ y $n$ grados de libertad.

Demostración

Utilizaremos el teorema del cambio de variable, definimos

$X:=\frac{U/m}{V/n}\text{y}Y:=V$

La función de densidad conjunta de $U$ y $V$ está dada por

$\begin{array}{cc}{f}_{U,V}(u,v)& =f_U(u)f_V(v)\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{m/2}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{u}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{u}{2}}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{v}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{v}{2}}\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{m+n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{u}^{\frac{m}{2}-1}{v}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{u+v}{2}}\end{array}$

como $U=\frac{m}{n}XY$ y $V=Y$ entonces el Jacobiano de la transformación está dado por

$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{m}{n}y& \frac{m}{n}x\\ 0& 1\end{array}\right|=\frac{m}{n}y$

La función de densidad conjunta de $(X,Y)$ está determinada por

$\begin{array}{cc}{f}_{X,Y}(x,y)& =\frac{m}{n}y\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{m+n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}xy\right)}^{\frac{m}{2}-1}{y}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}x+1)y}\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{m+n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}{y}^{\frac{m+n}{2}-1}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}x+1)y}\end{array}$

y como la densidad marginal de $X$ está dada por

$f_X(x)=\underset{ℝ}{\int }{f}_{X,Y}(x,y)dy$

entonces

$\begin{array}{cc}{f}_X(x)& =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{m+n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{y}^{\frac{m+n}{2}-1}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}x+1)y}dy\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{m+n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{{[\frac{1}{2}(\frac{m}{n}x+1)]}^{\frac{m+n}{2}}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\frac{x^{\frac{m-2}{2}}}{{(\frac{m}{n}x+1)}^{\frac{m+n}{2}}}\\ \end{array}$

que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución $F$, por lo tanto

$\frac{U/m}{V/n}\sim F_{m,n}$

A partir de una muestra con distribución normal

Sean $X_1,X_2,\dots ,X_{m+1}$ una muestra aleatoria de la distribución $N({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$ y $Y_1,Y_2,\dots ,Y_{n+1}$ una muestra aleatoria de la distribución $N({\mu }_y,{\sigma }_y^2)$ donde ambas muestras son independientes entre sí, se tiene que

$\overline{X}=\sum _{i=1}^{m+1}\frac{X_i}{m+1}\text{y}\overline{Y}=\sum _{j=1}^{n+1}\frac{Y_j}{n+1}$

$S_X^2=\sum _{i=1}^{m+1}\frac{{(X_i-\overline{X})}^2}{m}\text{y}{S}_Y^2=\sum _{j=1}^{n+1}\frac{{(Y_i-\overline{Y})}^2}{n}$

entonces

$\frac{m{S}_X^2}{{\sigma }_X^2}\sim {\chi }_m^2\text{y}\frac{n{S}_Y^2}{{\sigma }_Y^2}\sim {\chi }_n^2$

y por el teorema anterior

$\frac{S_X^2/{\sigma }_X^2}{S_Y^2/{\sigma }_Y^2}\sim F_{m,n}$

Distribuciones Relacionadas

• Si $X\sim F_{m,n}$ entonces $Y=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }mX$ tiene una distribución chi cuadrada ${\chi }_m^2$.
• Si $X\sim {\chi }_m^2$ y $Y\sim {\chi }_n^2$ son independientes entonces $\frac{X/m}{Y/n}\sim F_{m,n}$.
• Si $X\sim \mathrm{Beta}(\frac{\alpha }{2},\frac{\beta }{2})$ entonces $\frac{\beta X}{\alpha (1-X)}\sim F_{\alpha ,\beta }$.
• Si $X\sim F_{m,n}$ entonces $X^{-1}\sim F_{n,m}$.
• Si $X\sim t_{(n)}$ — Distribución t de Student — entonces : $X^2\sim F_{1,n}$
• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_1,{\beta }_1)$ y $Y\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_2,{\beta }_2)$ son independientes entonces $\frac{{\alpha }_2{\beta }_{1}X}{{\alpha }_1{\beta }_{2}Y}\sim F_{2{\alpha }_1,2{\alpha }_2}$.

Enlaces externos

• Tablas de la distribución F de Fisher-Snedecor
• Distribution Calculator Calcula las probabilidades y valores críticos para las distribuciones normal, t, ji-cuadrada y F
• [1] Calcular la probabilidad de una distribución F-Snedecor con R (lenguaje de programación)

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