Función beta

Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de $x$ y $y$.

En matemáticas, la función beta, también llamada integral de Euler de primer orden, es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma y los coeficientes binomiales. Está definida como la integral

$\beta (x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

para $x,y\in ℂ$ tales que $\text{Re}(x)>0$ y $\text{Re}(y)>0$.

La función beta fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

Propiedades

La función beta es simétrica, esto es

$\beta (x,y)=\beta (y,x)$

para toda $x$ y $y$.

La función beta se relaciona con la función gamma mediante

$\beta (x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

La función beta también está relacionada con los coeficientes binomiales. Si $x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ entonces de la propiedad anterior se sigue que

$\beta (x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}=\frac{x+y}{xy(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{x})}$

Relación con la función gamma

Para verificar que se cumple la identidad

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

consideremos el producto de dos factoriales

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{u=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{x-1}{e}^{-u}du\underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^{y-1}{e}^{-v}dv\\ & =\underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{u=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{x-1}{v}^{y-1}{e}^{-u-v}dudv\end{array}$

Haciendo el cambio de variables $u=zt$ y $v=z(1-t)$ se obtiene

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{z=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t=0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-z}(zt{)}^{x-1}(z(1-t){)}^{y-1}zdtdz\\ & =\underset{z=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z}{z}^{x+y-1}dz\underset{t=0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y)\end{array}$

Dividiendo ambos lados de la igualdad entre $\mathrm{\Gamma }(x+y)$ se obtiene el resultado deseado.

Derivadas

Tenemos que la derivada de la función beta pueden expresarse en términos de la función digamma y las función poligamma pues

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

donde $\psi (x)$ es la función digamma.

Otras identidades y fórmulas

La integral que define a la función beta puede ser escrita de distintas formas, incluyendo las siguientes

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\mathrm{sen}\theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta \\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt\\ & =n\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{nx-1}(1-t^n{)}^{y-1}dt\end{array}$

donde en la última identidad $n\in {ℝ}^{+}$. (Uno puede pasar de la primera identidad a la segunda haciendo el cambio de variable $t={\tan }^2(\theta )$).

La función beta puede ser escrita como una suma infinita como

$\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n}$

y como un producto infinito como

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1}$

Aplicación

Dado que $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

$\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi ={\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{1}{2}\right)$

de donde $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$.

Supongamos que $n$ es un entero no negativo y queremos calcular

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^n(t)dt$

Entonces podemos

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^n(t)dt=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^{2(n+1)/2-1}(t){\mathrm{sen}}^{2(1/2)-1}(t)dt=\frac{1}{2}\mathrm{B}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}).$

Usando la segunda propiedad de la función beta, tenemos

$\mathrm{B}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}$

De manera que

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^n(t)dt=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}=\{\begin{array}{cc}\frac{2^{2k}(k!{)}^2}{(2k+1)!}& \mathrm{s}\mathrm{i}n=2k+1;\\ \frac{\pi (2k)!}{2^{2k+1}(k!{)}^2}& \mathrm{s}\mathrm{i}n=2k.\end{array}$

Función beta incompleta

La función beta incompleta es una generalización de la función beta, se define como

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt$

Para $x=1$, la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) está definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}$

La función beta regularizada es la función de distribución acumulada de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulada de una variable aleatoria $X$ con distribución binomial con parámetros $n$ y $p$ como

$F(x)=\mathrm{P}[X\le x]=I_{1-p}(n-x,x+1)=1-I_p(x+1,n-x)$

Propiedades

$\begin{array}{cc}{I}_0(a,b)& =0\\ I_1(a,b)& =1\\ I_x(a,1)& =x^a\\ I_x(1,b)& =1-(1-x{)}^b\\ I_x(a,b)& =1-I_{1-x}(b,a)\\ I_x(a+1,b)& =I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x{)}^b}{a\mathrm{B}(a,b)}\\ I_x(a,b+1)& =I_x(a,b)+\frac{x^a(1-x{)}^b}{b\mathrm{B}(a,b)}\end{array}$

Función Beta Multivariada

La función beta puede extenderse a una función con más de dos argumentos como

$\mathrm{B}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)=\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1)\mathrm{\Gamma }({\alpha }_2)\cdots \mathrm{\Gamma }({\alpha }_n)}{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n)}$

Esta función beta multivariada es usada en la distribución de Dirichlet.

Véase también

• Distribución beta
• Función gamma
• Función poligamma

Enlaces externos

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• Plantilla:Springer