Distribución T² de Hotelling

Función de densidad de probabilidad.Parámetros:p - dimensión de las variables aleatorias.m - relacionado con el tamaño de la muestra.

En estadística la distribución T² (T-cuadrado) de Hotelling es importante porque se presenta como la distribución de un conjunto de estadísticas que son una generalización natural de las estadísticas subayacentes distribución t de Student. En particular, la distribución se presenta en estadísticas multivariadas en pruebas de diferencias entre las medias (multivariadas) de diferentes poblaciones, donde las pruebas para problemas univariados usarían la Prueba t. Es proporcional a la distribución F.

La distribución recibe su nombre de Harold Hotelling, quien la desarrollo como una generalización de la distribución t de Student.

Definición

Si el vector $d$ tiene distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza unitaria $N(0_p,{𝑰}_{p,p})$ y $M$ es una matriz de tamaño $p\times p$ con matriz unitaria escalada y $m$ los grados de libertad con distribución de Wishart $W({𝑰}_{p,p},m)$ entonces la forma cuadrática $X$ tiene distribución de Hotelling con parámetros $p$ y $m$:

$X=m{d}^T{M}^{-1}d\sim T^2(p,m)$

Si la variable aleatoria $X$ tiene distribución T-cuadrado de Hotelling con parámetros $p$ y $m$, $X\sim T_{p,m}^2$, entonces

$\frac{m-p+1}{pm}X\sim F_{p,m-p+1}$

donde $F_{p,m-p+1}$ es la distribución F con parámetros $\mathrm{p}$ y $m-p+1$.

Estadística T-cuadrado de Hotelling

La estadística T-cuadrado de Hotelling es una generalización de la estadística t de Student que se usa en las pruebas de hipótesis multivariadas, y se define como sigue:

Sea ${𝒩}_p(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$, que denota una distribución normal p-variada con vector de medias $\mathit{\mu }$ y covarianza $\mathrm{\Sigma }$. Sean

${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n\sim {𝒩}_p(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$

$n$ variables aleatorias independientes, las cuales pueden representarse como un vector columna de orden $p\times 1$ de números reales. Defínase

$\overline{𝐱}=\frac{{𝐱}_1+\cdots +{𝐱}_n}{n}$

como la media muestral. Puede demostrarse que

$n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })\sim {\chi }_p^2,$

donde ${\chi }_p^2$ es una distribución ji-cuadrado con p grados de libertad. Para demostrar eso se usa el hecho que $\overline{𝐱}\sim {𝒩}_p(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma }/n)$ y entonces, al derivar la función característica de la variable aleatoria $𝐲=n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })$

$$\begin{array}{cc}{\varphi }_{𝐲}(\theta )& =\mathrm{E}{e}^{i\theta 𝐲}\\ & =\mathrm{E}{e}^{i\theta n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })}\\ & =\int e^{i\theta n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })}(2\pi {)}^{-\frac{p}{2}}|\mathrm{\Sigma }/n{|}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })}d{x}_1...d{x}_p\\ & =\int (2\pi {)}^{-\frac{p}{2}}|\mathrm{\Sigma }/n{|}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }({\mathrm{\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\mathrm{\Sigma }}^{-1})(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })}d{x}_1...d{x}_p\\ & =|({\mathrm{\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\mathrm{\Sigma }}^{-1}{)}^{-1}/n{|}^{\frac{1}{2}}|\mathrm{\Sigma }/n{|}^{-\frac{1}{2}}\int (2\pi {)}^{-\frac{p}{2}}|({\mathrm{\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\mathrm{\Sigma }}^{-1}{)}^{-1}/n{|}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }({\mathrm{\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\mathrm{\Sigma }}^{-1})(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })}d{x}_1...d{x}_p\\ & =|({𝐈}_p-2i\theta {𝐈}_p){|}^{-\frac{1}{2}}\\ & =(1-2i\theta {)}^{-\frac{p}{2}}\end{array}$$

Sin embargo, $\mathrm{\Sigma }$ es por lo general desconocida y se busca hacer una prueba de hipótesis sobre el vector de medias $\mathit{\mu }$.

Defínase

$𝐖=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n({𝐱}_i-\overline{𝐱})({𝐱}_i-\overline{𝐱}{)}^{\prime }$

como la covarianza muestral. La traspuesta se ha denotado con un apóstrofo. Se demuestra que $𝐖$ es una matriz definida positiva y $(n-1)𝐖$ sigue una distribución Wishart p-variada con n−1 grados de libertad. La estadística T-cuadrado de Hotelling se define entonces como

$t^2=n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })$

porque se demuestra que Plantilla:Citation needed

$t^2\sim T_{p,n-1}^2$

es decir

$\frac{n-p}{p(n-1)}{t}^2\sim F_{p,n-p},$

donde $F_{p,n-p}$ es una distribución $F$ con parámetros $p$ y $n-p$. Para calcular un p-valor, multiplique la estadística t² y la constante anterior y use la distribución $F$.