Ecuación diferencial ordinaria de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el Plantilla:Siglo por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

Integración

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea $y_1(x)$.

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Observación

Obsérvese que si se hace la sustitución:

propuesta por Euler en la década de 1760 esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

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Aplicación a la ecuación Schwarziana

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es en la ecuación diferencial Schwarziana de Plantilla:Ord orden

$S(w):=(w^{″}/w^{\prime }{)}^{\prime }-(w^{″}/w^{\prime }{)}^2/2=f$

que aparece en la teoría del mapeo conforme y funciones univalentes. En este caso, las ecuaciones están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (El derivado de Schwarzian $S(w)$ tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir, $S((aw+b)/(cw+d))=S(w)$ siempre que $ad-bc$ sea no cero.) La función $y=w^{″}/w^{\prime }$ satisface la ecuación de Riccati

$y^{\prime }=y^2/2+f.$

Por lo anterior $y=-2u^{\prime }/u$ donde $u$ es una solución del ODE lineal

$u^{″}+(1/2)fu=0.$

Dado que $w^{″}/w^{\prime }=-2u^{\prime }/u$, la integración da $w^{\prime }=C/u^2$ por alguna constante $C$. Por otro lado, cualquier otra solución independiente $U$ o de la ODE lineal tiene un Wronskiano constante distinto de cero $U^{\prime }u-U{u}^{\prime }$ que se puede tomar para ser $C$ después de escalar.

Entonces

$w^{\prime }=(U^{\prime }u-U{u}^{\prime })/u^2=(U/u{)}^{\prime }$

para que la ecuación de Schwarz tenga solución $w=U/u.$