Elemento simétrico

En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto $A$ en el que se ha definido una operación matemática $⊚$, que anotamos: $(A,⊚)$, siendo la operación $⊚$, interna en $A$:

$\begin{array}{cccc}⊚:& A\times A& ⟶& A\\ & (a,b)& ⟼& c=a⊚b\end{array}$

Con elemento neutro $e:$

$\mathrm{\exists }e\in A,\mathrm{\forall }a\in A:a⊚e=e⊚a=a$

Se dice que un elemento $a\in A$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación $⊚$ si:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overrightarrow{a}\in A:\overrightarrow{a}⊚a=e$

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación $⊚$ si:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overleftarrow{a}\in A:a⊚\overleftarrow{a}=e$

elemento simétrico respecto de la operación $⊚$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$a\in A,\mathrm{\exists }\overline{a}\in A:\overline{a}⊚a=a⊚\overline{a}=e$

Un elemento simétrico $\overline{a}$ de $A$ es simétrico por la derecha del elemento $a$ y simétrico por la izquierda del elemento $a$.

Notación

Notación aditiva

Plantilla:Ap Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.

Ejemplo

La suma en el conjunto de los números enteros: $\mathbb{Z}$,

$\begin{array}{cccc}\oplus :& \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & (a,b)& ⟼& c=a\oplus b\end{array}$

es interna:

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}:a\oplus b\in \mathbb{Z}$

En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }0\in \mathbb{Z}:a\oplus 0=0\oplus a=a$

El elemento simétrico de $a$ se denomina elemento opuesto de $a$ y se denota por: $-a$.

Para dicho conjunto de números entero la operación suma: $\oplus$, tenemos que:

$a\in \mathbb{Z},\mathrm{\exists }(-a)\in \mathbb{Z}:(-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0$

Notación multiplicativa

Plantilla:Ap Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.

Ejemplo

La multiplicación en el conjunto de los números racionales: $\mathbb{Q}$,

$\begin{array}{cccc}\odot :& \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}& ⟶& \mathbb{Q}\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

es interna:

$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q}:a\odot b\in \mathbb{Q}$

En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},\mathrm{\exists }1\in \mathbb{Q}:a\odot 1=1\odot a=a$

El elemento simétrico de $a$ se denomina elemento inverso de $a$ y se denota por $a^{-1}$ o por $\frac{1}{a}.$

Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},a\ne 0,\mathrm{\exists }\frac{1}{a}\in \mathbb{Q}:\frac{1}{a}\odot a=a\odot \frac{1}{a}=1$

Véase también

• Elemento neutro
• Elemento simétrico
  • Elemento opuesto
  • Elemento inverso

• Elemento absorbente
• Elemento complementario