Espacio de Besov

En matemáticas, el espacio de Besov (llamado así en honor a Oleg Vladimirovich Besov) $B_{p,q}^s(𝐑)$ es un espacio cuasinormado completo que es un espacio de Banach cuando Plantilla:Math. Estos espacios, así como los espacios de Triebel-Lizorkin definidos de manera similar, sirven para generalizar espacios funcionales más elementales, como los espacios de Sobolev, y son eficaces para medir las propiedades de regularidad de las funciones.

Definición

Existen varias definiciones equivalentes. Uno de ellos se da a continuación.

Sea

${\mathrm{\Delta }}_{h}f(x)=f(x-h)-f(x)$

y definir el módulo de continuidad por

${\omega }_p^2(f,t)=\underset{|h|\le t}{\sup }{\Vert {\mathrm{\Delta }}_h^{2}f\Vert }_p$

Sea Plantilla:Mvar un número entero no negativo y defina: Plantilla:Math con Plantilla:Math. El espacio de Besov $B_{p,q}^s(𝐑)$ contiene todas las funciones Plantilla:Mvar tales que

$f\in W^{n,p}(𝐑),\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\frac{{\omega }_p^2(f^{(n)},t)}{t^{\alpha }}\right|}^q\frac{dt}{t}<\mathrm{\infty }.$

Norma

El espacio de Besov $B_{p,q}^s(𝐑)$ está equipado con la norma

${\Vert f\Vert }_{B_{p,q}^s(𝐑)}={(\Vert f{\Vert }_{W^{n,p}(𝐑)}^q+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\frac{{\omega }_p^2(f^{(n)},t)}{t^{\alpha }}\right|}^q\frac{dt}{t})}^{\frac{1}{q}}$

Los espacios de Besov $B_{2,2}^s(𝐑)$ coincidir con los espacios de Sobolev más clásicos $H^s(𝐑)$.

Si $p=q$ y $s$ no es un número entero, entonces $B_{p,p}^s(𝐑)={\overline{W}}^{s,p}(𝐑)$, dónde ${\overline{W}}^{s,p}(𝐑)$ denota el espacio de Sobolev-Slobodeckij.

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita publicación
• DeVore, R. and Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993.
• DeVore, R., Kyriazis, G. and Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998).
• Leoni, Giovanni (2017). A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. Graduate Studies in Mathematics. 181. American Mathematical Society. pp. 734. Plantilla:ISBN