Cuasi norma

En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), es una aplicación que satisface los axiomas de una norma excepto la desigualdad triangular, que se reemplaza por:

$\Vert x+y\Vert \le K(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )$

para algunos $K>1.$

Definición

Una Plantilla:EnfPlantilla:Sfn en un espacio vectorial $X$ es una aplicación de valor real $p$ en $X$ que satisface las siguientes condiciones:

1. Plantilla:Enf: $p\ge 0;$
2. Plantilla:Enf: $p(sx)=|s|p(x)$ para todos los $x\in X$ y todos los escalares $s;$
3. Existe un $k\ge 1$ real tal que $p(x+y)\le k[p(x)+p(y)]$ para todos los $x,y\in X.$
   • Si $k=1$, entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.

Una Plantilla:EnfPlantilla:Sfn es una cuasi seminorma que también satisface:

4. Definida positiva/Plantilla:Anclavis: si $x\in X$ satisface $p(x)=0,$ entonces $x=0.$

Un par $(X,p)$ que consta de un espacio vectorial $X$ y una cuasi seminorma asociada $p$, se denomina Plantilla:Enf Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama Plantilla:Enf

Multiplicador

El ínfimo de todos los valores de $k$ que satisfacen la condición (3) se llama Plantilla:Enfde $p.$ El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término Plantilla:Enf se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a $k.$

Una Plantilla:Enf (respectivamente, una Plantilla:Enf) es precisamente una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es $1.$ Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).

Topología

Si $p$ es una cuasinorma en $X$, entonces $p$ induce una topología vectorial en $X$ cuya base de entornos en el origen está dada por los conjuntos:Plantilla:Sfn

$\{x\in X:p(x)<1/n\}$

ya que $n$ abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama Plantilla:Enfo simplemente Plantilla:Enf.

Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.

Un espacio cuasinormado completo se llama Plantilla:EnfTodo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

Definiciones relacionadas

Un espacio cuasinormado $(A,\Vert \cdot \Vert )$ se llama Plantilla:Enfsi el espacio vectorial $A$ es un álgebra y existe una constante $K>0$ tal que

$\Vert xy\Vert \le K\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

para todo $x,y\in A.$

Un álgebra cuasi normada completa se llama Plantilla:Enf

Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio cuasi normado si y solo si posee un entorno acotada del origen.Plantilla:Sfn

Ejemplos

Dado que toda norma es una cuasi norma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasi normado.

Espacios $L^p$ con $0<p<1$

Los espacios $L^p$ para $0<p<1$ son espacios cuasi normados (de hecho, incluso son espacios F) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para $0<p<1,$, un espacio de Lebesgue $L^p([0,1])$ es un EVT metrizable completo (un espacio F), es decir, Plantilla:Enf es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son el propio $L^p([0,1])$ y el conjunto vacío) y el Plantilla:Enf funcional lineal continuo en $L^p([0,1])$ es la función constante $0$.Plantilla:Harv En particular, el teorema de Hahn–Banach Plantilla:Enf se cumple para $L^p([0,1])$ cuando $0<p<1.$

Véase también

• Espacio vectorial topológico metrizable
• Norma vectorial
• Seminorma
• Espacio vectorial topológico

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
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