Espacio proyectivo complejo

En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cⁿ⁺¹ que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cⁿ⁺¹), P_n(C) o CPⁿ

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cⁿ⁺¹-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:

$z\sim w\iff z=\lambda w\lambda \in ℂ-\{0\}z,w\in {ℂ}^{n+1}-\{0\}$

Topología

Sea $\pi :{ℂ}^{n+1}-\{0\}\to ℂP^n$ la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPⁿ de la topología cociente, de modo que $U\subset ℂP^n$es abierto si y sólo si ${\pi }^{-1}(U)$ lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

CPⁿ es compacto y conexo

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S²ⁿ⁺¹. En concreto por la composición de aplicaciones $\pi \circ i$ dada por

$S^{2n+1}⟶{ℂ}^{n+1}-\{0\}⟶ℂP^n$,

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S²ⁿ⁺¹.

Estructura compleja

Podemos construir un atlas mediante las cartas $(U_i,{\mathrm{\Phi }}_i)$ definidas por:

$U_i=\{[z]:z\in {ℂ}^{n+1}-\{0\},z_i\ne 0\}{\mathrm{\Phi }}_i([z])=(\frac{z_0}{z_i},\cdots ,\widehat{\frac{z_i}{z_i}},\cdots ,\frac{z_n}{z_i})$

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si $z\in U_i\cap U_j$ , se comprueba que el cambio de cartas $({\mathrm{\Phi }}_j\circ {\mathrm{\Phi }}_i^{-1})$ es holomorfo.

Subespacios lineales de CPⁿ

Toda inclusión del tipo C^k+1 → Cⁿ⁺¹ induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CP^k → CPⁿ. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPⁿ.

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPⁿ. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.

Referencias

• P. Griffiths y J. Harris. Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons, 1978. ISBN 0-471-32792-1 . (Cap. 2)

Véase también

• Espacio proyectivo real
• Espacio proyectivo cuaterniónico
• Geometría algebraica