Espacio vectorial ordenado arquimedianamente

En matemáticas, específicamente en teoría del orden, una relación binaria $\le$ sobre un espacio vectorial $X$ sobre los números reales o los números complejos se llama arquimediana (o también de Arquímedes) si para todos los $x\in X,$ siempre que exista algún $y\in X$ tal que $nx\le y$ para todos los números enteros positivos $n,$ entonces necesariamente $x\le 0.$ Un espacio vectorial (pre)ordenado de Arquímedes es un espacio vectorial (pre)ordenado cuyo orden es de Arquímedes.Plantilla:Sfn Un espacio vectorial preordenado $X$ se llama casi de Arquímedes si para todos los $x\in X,$ siempre que exista un $y\in X$ tal que $-n^{-1}y\le x\le n^{-1}y$ para todos los números enteros positivos $n,$ entonces$x=0.$Plantilla:Sfn

Caracterizaciones

Un espacio vectorial preordenado $(X,\le )$ con una unidad de orden $u$ está preordenado arquimedianamente si y solo si $nx\le u$ para todos los números enteros no negativos $n$ implica que $x\le 0.$Plantilla:Sfn

Propiedades

Sea $X$ un espacio vectorial ordenado de dimensión finita sobre los números reales. Entonces, el orden de $X$ es de Arquímedes si y solo si el cono positivo de $X$ está cerrado para la topología única bajo la cual $X$ es un espacio vectorial topológico de Hausdorff.Plantilla:Sfn

Norma de unidad de orden

Supóngase que $(X,\le )$ es un espacio vectorial ordenado sobre los números reales con una unidad de orden $u$ cuyo orden es de Arquímedes, y sea $U=[-u,u].$ Entonces, el funcional de Minkowski $p_U$ de $U$ (definido por $p_U(x):=\inf \{r>0:x\in r[-u,u]\}$) es una norma llamada norma de unidad de orden, que satisface que $p_U(u)=1$ y que la bola unitaria cerrada determinada por $p_U$ es igual a $[-u,u]$ (es decir, $[-u,u]=\{x\in X:p_U(x)\le 1\}.$Plantilla:Sfn

Ejemplo

• El espacio $l_{\mathrm{\infty }}(S,ℝ)$ de aplicaciones acotadas de valores reales en un conjunto $S$ con orden puntual está ordenado arquimedianamente con una unidad de orden $u:=1$ (es decir, la función que es idénticamente $1$ en $S$). La norma de unidad de orden en $l_{\mathrm{\infty }}(S,ℝ)$ es idéntica a la norma del supremo habitual: $\Vert f\Vert :=\underset{}{\sup }|f(S)|.$Plantilla:Sfn

Ejemplos

• Cada espacio de Riesz con orden completo está ordenado por arquimedianamente.Plantilla:Sfn
• Una red vectorial de dimensión finita de dimensión $n$ tiene el orden de Arquímedes si y solo si es isomorfa a ${ℝ}^n$ con su orden canónico.Plantilla:Sfn
• Sin embargo, un orden vectorial totalmente ordenado de dimensión $>1$ no puede ser un orden de Arquímedes.Plantilla:Sfn
• También existen espacios vectoriales ordenados que son casi de Arquímedes pero no de Arquímedes.
• El Espacio euclídeo ${ℝ}^2$ sobre los números reales con el orden lexicográfico Plantilla:Enf está ordenado arquimedianamente, dado que $r(0,1)\le (1,1)$ para cada $r>0$, pero $(0,1)\ne (0,0).$Plantilla:Sfn

Véase también

• Axioma de Arquímedes
• Espacio vectorial ordenado

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro