Extensión de Galois

En álgebra abstracta, una extensión de cuerpo algebraica E/K se dice extensión de Galois (o extensión galoisiana) si es una extensión normal y separable. En este caso, se puede considerar el grupo de Galois de la extensión y sobre él es válida la tesis del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.

Definición

Sea la extensión E sobre un cuerpo base K (E/K).

• Por ser normal, E es el cuerpo de descomposición de un polinomio con coeficientes en K; o, equivalentemente, las K-inmersiones de E en un cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a K son automorfismos de E sobre K.
• Por ser separable, dicho polinomio descompone completamente en raíces simples.

Grupo de Galois

Sobre una extensión de Galois E/K, se define el grupo de Galois Gal(E/K) como el grupo de los automorfismos de E sobre K. Por ser E/K normal, toda K-inmersión entre E y Ω es un automorfismo y se tiene:

$\mathrm{Gal}(E/K)={\mathrm{Aut}}_K(E)=\{\sigma :E\to \overline{K}:\sigma K\text{-}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\}$

siendo el cardinal del grupo $|\mathrm{Gal}(E/K)|=|{\mathrm{Aut}}_K(E)|=[E:K]$.

Enlaces externos

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