Fórmulas de Machin

En matemáticas, las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al $\mathrm{\Pi }$ = 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239},$

que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma

$\frac{\pi }{4}=\sum _n^N{a}_n\arctan \frac{1}{b_n}$

con $a_n$ y $b_n$ s entero.

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Derivación

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes

• $\tan (\arctan (a))=a$
• $\frac{\pi }{4}=\arctan (1)$
• $\tan (2a)=\frac{2\tan (a)}{1-{\tan }^2(a)}$ (identidad de la tangente de ángulo doble)
• $\tan (a-\arctan (b))=\frac{\tan (a)-b}{1+b\tan (a)}$ (identidad diferencia tangente)
• $\frac{\pi }{16}=0.196349\dots$ (aproximadamente)
• $\arctan \left(\frac{1}{5}\right)=\arctan (0.2)=0.197395\dots$ (aproximadamente)

En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad. Esto conduce a la posibilidad de que un número $q$ pueda encontrarse tal que

$\frac{\pi }{16}=\arctan \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{4}\arctan (q).$

Usando el álgebra elemental, se puede aislar $q$:

$q=\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{\pi }{4})$

Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado

$q=\frac{\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right))-1}{1+\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right))}$

Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a

$\tan (4\arctan \left(\frac{1}{5}\right))=\frac{120}{119}$

y así

$q=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1}{239}.$

Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos. Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por $\arctan \frac{b}{a}$ y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos. Si a = b then $\arctan \frac{b}{a}$ es de 45 grados o $\frac{\pi }{4}$. Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a $\frac{\pi }{4}$. Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin. Un ejemplo es $(2+i)$ y $(3+i)$, si se multiplican se llega a $(5+5i)$. Por lo tanto $\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}=\frac{\pi }{4}$.

Si desea utilizar números complejos para demostrar que $\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando. Así que $(5+i{)}^4(-239+i)=-2^2(13^4)(1+i)$ y ya que las partes real e imaginaria son iguales, $4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}=\frac{\pi }{4}$

Fórmulas de dos períodos

relations

Hay exactamente tres fórmulas adicionales de Machin con dos términos; se trata de Euler

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$,

Hermann,

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{2}-\arctan \frac{1}{7}$,

y de Hutton

$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7}$.

Más términos

El récord de 2002 de dígitos de $\pi$, 1,241,100,000,000, fue obtenido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio. El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron estas dos fórmulas:

$\frac{\pi }{4}=12\arctan \frac{1}{49}+32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}+12\arctan \frac{1}{110443}$

Kikuo Takano (1982).

$\frac{\pi }{4}=44\arctan \frac{1}{57}+7\arctan \frac{1}{239}-12\arctan \frac{1}{682}+24\arctan \frac{1}{12943}$

F. C. w. Störmer (1896).

Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}=& 183\arctan \frac{1}{239}+32\arctan \frac{1}{1023}-68\arctan \frac{1}{5832}+12\arctan \frac{1}{110443}\\ & -12\arctan \frac{1}{4841182}-100\arctan \frac{1}{6826318}\\ \end{array}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997).

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}=& 183\arctan \frac{1}{239}+32\arctan \frac{1}{1023}-68\arctan \frac{1}{5832}+12\arctan \frac{1}{113021}\\ & -100\arctan \frac{1}{6826318}-12\arctan \frac{1}{33366019650}+12\arctan \frac{1}{43599522992503626068}\\ \end{array}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (2003).

Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades;

$\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy},$

$\arctan x-\arctan y=\arctan \frac{x-y}{1+xy},$

o equivalente,

$\arctan \frac{a}{b}+\arctan \frac{c}{d}=\arctan \frac{ad+bc}{bd-ac},$

$\arctan \frac{a}{b}-\arctan \frac{c}{d}=\arctan \frac{ad-bc}{bd+ac}.$

Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente. Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;

$\begin{array}{cc}12\arctan \frac{1}{49}& +32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}+12\arctan \frac{1}{110443}\\ & =12\arctan \frac{46}{2253}+32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}\\ & =12\arctan \frac{3}{79}+20\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}\\ & =12\arctan \frac{1}{18}+8\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}\text{(Gauss)}\\ & =4\arctan \frac{1}{18}+8\arctan \frac{3}{41}-5\arctan \frac{1}{239}\\ & =4\arctan \frac{17}{331}+4\arctan \frac{123}{836}-\arctan \frac{1}{239}\\ & =4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\text{(Machin)}\\ & =2\arctan \frac{5}{12}-\arctan \frac{1}{239}\\ & =\arctan \frac{120}{119}-\arctan \frac{1}{239}\\ & =\arctan 1=\frac{\pi }{4}.\end{array}$:

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• The constant π
• Machin's Merit Plantilla:Wayback at MathPages
• Archimedes' constant pi - Machin's formula gives a proof for the John Machin`s formula