Función distancia con signo

Función distancia con signo.

En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otorgándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}d(x,S)& \text{ si }x\in A\\ 0& \text{ si }x\in S\\ -d(x,S)& \text{ si }x\in B\end{array}$

donde

$d(x,S)=\underset{y\in S}{\inf }d(x,y)$ es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

• Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los ${ℝ}^n$ y con S con suficientes propiedades.
• Si la superficie es completa, es decir, $S=cl(S)$ donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
• La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Función distancia con signo para superficies

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo $b_S(x)$ tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a $cl(S)$ y tomará valores negativos dentro de S.

$b_S(x)=\{\begin{array}{cc}{d}_S(x)& \text{ si }x\in S^{+}\\ 0& \text{ si }x\in cl(S)\\ -d_S(x)& \text{ si }x\in S^{-}\end{array}$

Donde $S^{+}$ es el espacio fuera de la superficie y $S^{-}$ el espacio encerrado por la superficie.

• Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de $b_S(x)$. Sabemos que la elección de un vector normal $N(p)$ en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general $b_S(x)$ puede tomarse como la distancia entre x y un único punto $p_x\in cl(S)$, y como $x-p_x$ es paralelo a $N(p)$ la función tomara un valor positivo si $x-p_x$ tiene el mismo sentido que $N(p)$ y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

Esqueleto

• Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de $cl(S)$. Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos $ϵ(S)$. Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

$ϵ(S)=\{x\in {ℝ}^3/b_S(x)=s\Vert x-p_x\Vert =s\Vert x-p_y\Vert ,s=\pm 1y{p}_x\ne p_y\}$

Propiedades

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea $p_x\in cl(S)$ tal que $b_S(x)=\pm \Vert x-p_x\Vert$ entonces $x-p_x$ es normal a S en $p_x$.

Demostración:

Sea A la esfera de centro x y radio $\Vert x-p_x\Vert$. Supongamos que $x-p_x$ no es normal a S en $p_x$, entonces A no es tangente a S en $p_x$, entonces existirá en un entorno de $p_x$ un $p_y\in S$ dentro A, entonces $\Vert x-p_y\Vert <\Vert x-p_x\Vert$, lo cual es falso.

2. $b_S(x)$ es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, $\Vert b_S(x)-b_S(y)\Vert \le \Vert x-y\Vert$.

Demostración:

Si $xey\in S^{+}$ entonces $\Vert x-p_x\Vert \le \Vert x-p_y\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y-p_y\Vert$, entonces $\Vert x-p_x\Vert -\Vert y-p_y\Vert \le \Vert x-y\Vert$. Si $x\in S^{+}$ e $y\in S^{-}$, entonces $\mathrm{\exists }z=\overline{xy}\cap S$ tal que $\Vert x-p_x\Vert \le \Vert x-z\Vert$ y $\Vert y-p_y\Vert \le \Vert y-z\Vert$, entonces $\Vert x-p_x\Vert +\Vert y-p_y\Vert \le \Vert x-y\Vert$.

3. $b_S(x)$ es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:

El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de ${ℝ}^n$ y $f(x)$ es Lipschitz continua, entonces $f(x)$ es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. $b_S(x)$ es diferenciable en x si y solo si $x\notin ϵ(S)$ y en ese caso existirá un único $p_x$ tal que $b_S(x)=\pm \Vert x-p_x\Vert$ y $\mathrm{\nabla }{b}_S(x)=\frac{x-p_x}{b_S(x)}$.

5. $\Vert \mathrm{\nabla }{b}_S(x)\Vert =1$, es solución de la ecuación de la eikonal.

6. $\mathrm{\forall }x\in S,N(x)=\mathrm{\nabla }{b}_S(x)$, es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de $b_S(x)$ en x.

Demostración:

$S\subset cl(S)=\{x/b_S(x)=0\}$, entonces $N(x)=\frac{\mathrm{\nabla }{b}_S(x)}{\Vert \mathrm{\nabla }{b}_S(x)\Vert }=\frac{\mathrm{\nabla }{b}_S(x)}{1}=\mathrm{\nabla }{b}_S(x)$

7. $H(x)=\mathrm{\Delta }{b}_S(x)$ La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:

$H(x)=\mathrm{\nabla }\frac{\mathrm{\nabla }{b}_S(x)}{\Vert \mathrm{\nabla }{b}_S(x)\Vert }=\mathrm{\nabla }\frac{\mathrm{\nabla }{b}_S(x)}{1}=\mathrm{\nabla }\mathrm{\nabla }{b}_S(x)={\mathrm{\nabla }}^2{b}_S(x)=\mathrm{\Delta }{b}_S(x)$

Ejemplos

• Distancia a un plano

Para un plano $\mathrm{\Pi }\equiv A.x+B.y+C.z+D=0$ cuyo vector normal es $(A,B,C)$

$b_{\mathrm{\Pi }}(x,y,z)=\frac{A.x+B.y+C.z+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

• Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro $(a,b,c)$ y radio r

$b_S(x,y,z)=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}-r$

• distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

$b_S(x,y,z)=\sqrt{(\sqrt{x^2+y^2}-R{)}^2+z^2}-r$

Referencias

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• [1].