Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria $X$ es

$M_X(t):=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right],t\in ℝ,$

siempre que esta esperanza exista.

La función generatriz de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de $t=0$, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

$\mathrm{E}\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\frac{d^n{M}_X}{d{t}^n}(0).$

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.Plantilla:Cita requerida

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generatriz no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde $𝐗=(X_1,\dots ,X_n)$ es un vector aleatorio n-dimensional, se usa $𝐭\cdot 𝐗={𝐭}^{\mathrm{T}}𝐗$ en lugar de $tX$:

$M_{𝐗}(𝐭):=\mathrm{E}\left[e^{{𝐭}^{\mathrm{T}}𝐗}\right]$

En ocasiones se escribe $M(t)$ en lugar de $M_X(t)$ y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

Cálculo

Si $X$ es una variable aleatoria continua con función de densidad $f(x)$, entonces la función generadora de momentos viene dada por:

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2{x}^2}{2!}+\cdots )f(x)\mathrm{d}x$

$M_X(t)=1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\cdots$

donde $m_i$ es el $i$-ésimo momento. $M_X(-t)$ es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de $f(x)$.

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}dF(x)$

donde $F$ es la función de distribución. Si $X_1,X_2,\dots ,X_n$ es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i,$

donde las $a_i$ son constantes, entonces la función de densidad de $S_n$ es la convolución de la función de densidad de cada una de las $X_i$ y la función generadora de momentos para $S_n$ viene dada por

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_{1}t)M_{X_2}(a_{2}t)\cdots M_{X_n}(a_{n}t)$

Para variables aleatorias multidimensionales $X$ con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

$M_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{⟨t,X⟩}\right]$

donde t es un vector y $⟨t,X⟩$ es el producto punto.

Función generatriz de momentos para algunas distribuciones

• Si $X\sim \text{Unif}(a,b)$ entonces $M_X(t)=\frac{e^{bt}-e^{at}}{bt-at}$.
• Si $X\sim \text{Exp}(\lambda )$ entonces $M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}$.
• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$ entonces $M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }$.
• Si $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ entonces $M_X(t)=e^{\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}}$.
• Si $X\sim {\chi }_n^2$ entonces $M_X(t)=(1-2t{)}^{-n/2}$.

Ejemplos

Función generatriz para una variable aleatoria discreta

Si $X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$ entonces la función de probabilidad está dada por

$\mathrm{P}[X=x]=p^x(1-p{)}^{1-x}$

para $x=0,1$ por lo que la función generatriz de momentos es

$\begin{array}{cc}{M}_X(t)& =\mathrm{E}[e^{tX}]\\ & =\sum _{x=0}^1{e}^{tx}\mathrm{P}[X=x]\\ & =\sum _{x=0}^1{e}^{tx}{p}^x(1-p{)}^{1-x}\\ & =(1-p)+e^{t}p\\ & =1-p+p{e}^t\end{array}$

Relación con otras funciones

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generatriz de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica

La función característica ${\phi }_X(t)$ está relacionada con la función generadora de momentos vía

${\phi }_X(t)=M_X(it)$

siempre que ambas existan.

Función generadora de probabilidad

La función generatriz de momentos y la función generatriz de probabilidades se relacionan por la igualdad

$M_X(t)=G(e^t)$

donde

$G(e^t)=\text{E}(\text{exp}(t{)}^X)$

siempre que ambas existan.

Véase también

• Función característica