Función generadora de probabilidad

Definición

Si $X$ es una variable aleatoria entonces la función generatriz de probabilidades de $X$ se define como las siguiente:

$G_X(t)=\text{E}\left[t^X\right]$

para ciertos valores $t$ tal que la esperanza exista.

En ocasiones se escribe $G(t)$ en lugar de $G_X(t)$ y se utilizan las letras f.g.p para referirse a la función generatriz de probabilidades.

Cálculo de la f.g.p.

Variables aleatorias discretas

Si $X$ es una variable aleatoria discreta entonces su función generatriz de probabilidades está dada por:

$G_X(t)=\text{E}\left[t^X\right]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^{k}P(X=k)$

donde $P(X=k)$ con $k=0,1,\dots$ denota la función de probabilidad.

A partir de lo anterior, no es difícil ver que

$G_X(1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}P(X=k)=1$

Variables aleatorias continuas

Si $X$ es una variable aleatoria continua entonces su función generatriz de probabilidades está dada por

$G_X(t)=\text{E}\left[t^X\right]=\underset{x\in S}{\int }{t}^{x}f(x)dx$

donde $f(x)$ denota la función de densidad y $S$ denota el soporte de la variable aleatoria.

Propiedades

Para una variable aleatoria discreta $X$ se pueden obtener las distribuciones de probabilidad $P(X=k)$ como

$P(X=k)=\frac{1}{k!}{\frac{d^k{G}_X}{d{t}^k}|}_{t=0}$

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes con f.g.p. $G_X(t)$ y $G_Y(t)$ respectivamente entonces

$G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)$.

f.g.p. para algunas distribuciones discretas

Si $X\sim \text{Uniforme}(x_1,\dots ,x_n)$ entonces

$G_X(t)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{t}^{x_i}$.

Si $X\sim \text{Bernoulli}(p)$ entonces

$G_X(t)=1-p+pt$.

Si $X\sim \text{Binomial}(n,p)$ entonces

$G_X(t)=(1-p+pt{)}^n$.

Si $X\sim \text{Geométrica}(p)$ entonces

$G_X(t)=\frac{p}{1-t(1-p)}$.

Si $X\sim \text{Poisson}(\lambda )$ entonces

$G_X(t)=e^{-\lambda (1-t)}$.

Véase también

• Función característica
• Función generadora de momentos
• Esperanza
• Varianza
• Covarianza
• Variable aleatoria