Función localmente integrable

En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Definición formal

Más formalmente, sea $\mathrm{\Omega }$ un conjunto abierto del espacio euclídeo ${ℝ}^n$ y sea $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue: Plantilla:Ecuación es finita para todo conjunto acotado $B\subset \mathrm{\Omega }$, con $\bar{B}\subseteq \mathrm{\Omega }$, entonces $f$ es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por: Plantilla:Ecuación

Propiedades

Teorema. Toda función $f$ del espacio $L^p(\mathrm{\Omega })$, $1\le p\le +\mathrm{\infty }$, donde $\mathrm{\Omega }$ es un conjunto abierto de ${ℝ}^n$ es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica ${\chi }_K$ de un conjunto compacto$K$ de $\mathrm{\Omega }$: entonces, para $p\le +\mathrm{\infty }$ Plantilla:Ecuación donde

• $q$ es un número positivo tal que $1/p+1/q=1$para un p dado tal que $1\le p\le +\mathrm{\infty }$
• $\mu (K)$ es la medida de Lebesgue del conjunto compacto $K$

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que: Plantilla:Ecuación Y por tanto: Plantilla:Ecuación

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta: Plantilla:Ecuación la afirmación se sigue también para funciones $f$que pertenecen al espacio $L^p(K)$ para cada conjunto compacto $K$ de $\mathrm{\Omega }$.

Referencias

• Plantilla:Cita libro