Grupo resoluble

En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Definición

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos $\{G_i{\}}_{i=1}^n\subset G$ tal que:

$\{1_G\}=G_0\subseteq G_1\subseteq \dots \subseteq G_n=G,$

donde para cada $i=0,1,\dots ,n-1$ se cumple que:

• $G_i$ es subgrupo normal en $G_{i+1}$, notado usualmente como $G_i◃G_{i+1}$.

• El grupo cociente $G_{i+1}/G_i$ es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos $G^{(0)}=G$ y $G^{(i+1)}=[G_i,G_i]$. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

$G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)}\supseteq G^{(2)}\dots ,$ donde $G^{(i+1)}⊲G^{(i)}$ para todo i.

El grupo es soluble si existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $G^{(n)}=\{1_G\}$.

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo $J$ y un subgrupo normal $N⊲J$, se tiene que $J/N$ es abeliano si y solo si $[J,J]\subseteq N$.

Ejemplos

• Todo grupo abeliano es resoluble, ya que $\{1\}\subseteq G$ y $1◃G$, dado que $x\cdot 1_G\cdot x^{-1}\in \{1_G\}$ y además $G/\{1\}\simeq G$, por lo que es abeliano.

• $S_3$ es resoluble. Basta ver que $1◃A_3◃S_3$ es una torre abeliana, con $A_n$ el grupo alternado para $S_n$.

• $A_4$ es resoluble. Basta ver que $1◃V◃A_4$, es una torre abeliana de $A_4$, donde $V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$.

• $S_4$ es resoluble. Se puede ver que $1◃V◃A_4◃S_4$ es una torre abeliana de $S_4$.

• $A_5$ es un grupo no resoluble, ya que se conoce que $A_5$ es simple, por lo que la única cadena posible es $1◃A_5$, pero $A_5$ no es abeliano, dado que $(12)(34)(345)\ne (345)(12)(34)$.

Propiedades

• Si $G$ es un grupo soluble y $f:G\to H$ es un homomorfismo de grupos entonces $f(G)$ es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si $N⊲G$ y $G$ es soluble entonces $G/N$ es soluble.

• Si $G$ es soluble y $H\le G$ entonces $H$ es soluble.

• Si $N⊲G$ verifican que tanto $N$ como $G/N$ son solubles entonces $G$ es soluble.

• De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo $G\times H$ es soluble si y solo si $G$ y $H$ lo son.

Importancia

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.

Referencias

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