Identidad de Proizvolov

En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 Plantilla:Harv.

Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,

1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,

y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):

$A_1<A_2<\cdots <A_N.$

Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):

$B_1>B_2>\cdots >B_N.$

Entonces la suma

$|A_1-B_1|+|A_2-B_2|+\cdots +|A_N-B_N|$

es siempre igual a N².

Ejemplo

Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son:

A₁ = 2, A₂ = 3, y A₃ = 5;

B₁ = 6, B₂ = 4, y B₃ = 1.

La suma es

$|A_1-B_1|+|A_2-B_2|+|A_3-B_3|=|2-6|+|3-4|+|5-1|=4+1+4=9,$

la cual indica que es igual a 3².

Referencias

• Plantilla:Obra citada.

Enlaces externos

• Proizvolov's identity en cut-the-knot.org
• Plantilla:Cita web