Implicación material

En lógica proposicional, la implicación material o definición del condicional es una regla de reemplazo válida que permite que una declaración condicional sea sustituida por una disyunción si y solo si el antecedente es negado. La regla establece que P implica Q es lógicamente equivalente a no-P o Q y puede sustituir a otra en demostraciones lógicas.

$P\to Q\iff \mathrm{\neg }P\vee Q$

Donde "$\leftrightarrow$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una demostración con."

Notación formal

La regla de implicación material puede escribirse en la notación subsiguiente:

$(P\to Q)⊢(\mathrm{\neg }P\vee Q)$

donde $⊢$ es un símbolo metalógico que significa que $\mathrm{\neg }P\vee Q$ es una consecuencia sintáctica de $(P\to Q)$ en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

$((P\vee Q)\wedge \mathrm{\neg }P)\to Q$

donde la regla es que cada vez que en las líneas de una demostración aparezcan las instancias de "$P\to Q$", éstas pueden ser reemplazadas con "$\mathrm{\neg }P\vee Q$".

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional.

$(P\to Q)\to (\mathrm{\neg }P\vee Q)$

donde $P$ y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Ejemplo

Si se trata de un oso, entonces puede nadar.

Por lo tanto, no es un oso o puede nadar.

donde $P$ es la declaración "es un oso" y $Q$ es la declaración "este puede nadar".

Si se encontró que el oso no sabía nadar, escrito simbólicamente como $P\wedge \mathrm{\neg }Q$, entonces ambas frases son falsas, pero de lo contrario son ambas verdaderas.