Integración de Lebesgue–Stieltjes

En el análisis de la teoría de medidas y otras ramas relacionadas de la matemática, la Integración de Lebesgue–Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes y la integración de Lebesgue, preservando las muchas ventajas de ambas en un marco más general de teoría de medidas. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como la medida de Lebesgue–Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación finita en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel, y de manera opuesta toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue–Stieltjes, nombradas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes, son también conocidas como las integrales de Lebesgue–Radon o simplemente integrales de Radon, debido a Johann Radon, a quien se debe mucha de la teoría. Ellos encontraron aplicaciones en común entre las probabilidades y los procesos estocásticos, y en ciertas ramas del análisis matemático incluyendo la teoría del potencial.

Definición

La integral de Lebesgue–Stieltjes: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$ es definida cuando $f:[a,b]\to ℝ$ es Borel-medible y finita y $g:[a,b]\to ℝ$ es de variación finita en $[a,b]$ y continua por la derecha, o cuando $f$ es no negativa y $g$ es monótona y continua por la derecha. Para empezar, se asume que $f$ es no negativa y que $g$ es monótona no decreciente y continua por la derecha. Se define $w[(s,t]):=g(t)-g(s)$ y $w(\{a\}):=0$ (alternativamente, la construcción funciona para $g$ continua por la izquierda, $w([s,t)):=w(t)-w(s)$ y $w(\{b\}):=0$).

Por el Teorema de Carathéodory, existe una única medida de Borel ${\mu }_g$ en $[a,b]$ que concuerde con $w$ en cada intervalo $I$. La medida ${\mu }_g$ surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por

${\mu }_g(E)=\inf \{\sum _i{\mu }_g(I_i)|E\subset \bigcup _i{I}_i\}$

el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos. Esta medida es llamada comúnmente como la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g.

La integral de Lebesgue–Stieltjes

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μ_g en la manera usual. Si g es no decreciente, entonces se define

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x):=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(-g)(x),$

siendo la última integral definida por la construcción precedente.

Si g es de variación finita y ƒ es finita, entonces es posible plantear

$dg(x)=d{g}_1(x)-d{g}_2(x)$

donde Plantilla:Nowrap es la variación total deg en el intervalo [a,x], y g₂(x) = g₁(x) − g(x). Tanto g₁ como g₂ son monótonas no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_1(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_2(x),$

donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.

Integral de Daniell

Una aproximación alternativa Plantilla:Harv es definir la integral de Lebesgue–Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann–Stieltjes. Sea g una función no ascendente continua por la derecha en [a,b], y I(ƒ) la integral de Riemann–Stieltjes

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

para toda función continua ƒ. La operación I define una medida de Radon sobre [a,b]. Esta operación puede ser extendida a la clase de todas las funciones no negativas definiendo

$\bar{I}(h)=\sup \{I(f)|f\in C[a,b],0\le f\le h\}$

y

$\overline{\stackrel{‾}{I}}(h)=\inf \{I(f)|f\in C[a,b],h\le f\}.$

Para funciones medibles por Borel, se tiene

$\bar{I}(h)=\overline{\stackrel{‾}{I}}(h),$

y ambos lados de la identidad definen la integral de Lebesgue–Stieltjes

de h. La medida externa μ_g es definida a partir de

${\mu }_g(A)=\overline{\stackrel{‾}{I}}({\chi }_A)$

donde χ_A es la función característica de A.

Integradores de variación finita son manejados de igual forma a la anterior, descomponiendo en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Suponga que $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^2$ es una curva corregible en el plano y $\rho :{ℝ}^2\to [0,\mathrm{\infty })$ es Borel-medible. Entonces se puede definir la longitud de $\gamma$ con respecto a la métrica euclidiana medida por $\rho$ como $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho (\gamma (t))d\ell (t)$, donde $\ell (t)$ es la longitud de la restricción de $\gamma$ para $[a,t]$. Esta es comúnmente llamada la $\rho$-medida de $\gamma$. Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo. Si $\rho (z)$ denota la inversa de la velocidad en o cerca de $z$, entonces la $\rho$-longitud de $\gamma$ es el tiempo que tomaría cruzar $\gamma$. El concepto de longitud extrema usa esta noción de $\rho$-longitud de curvas y es útil en el análisis de transformaciones conformes.

Integración por partes

Una función $f$ se considera "regular" en un punto $a$ si existen los límites derecho $f(a+)$ e izquierdo $f(a-)$, y la función toma el valor promedio, :$f(a)=\frac{1}{2}(f(a-)+f(a+)),$ en el punto límite. Dada las funciones $U$ y $V$ de variación finita, si en cada punto $U$ o $V$ es continua, si ambas $U$ y $V$ son regulares, entonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}UdV+\underset{a}{\overset{b}{\int }}VdU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),$ donde $b>a$. Bajo una pequeña generalización de esta fórmula, las condiciones extras en $U$ t $V$ pueden ser eliminadas.

Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones

$U$ y $V$ de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces

$U(t)V(t)=U(0)V(0)+\underset{(0,t]}{\int }U(s-)dV(s)+\underset{(0,t]}{\int }V(s-)dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\mathrm{\Delta }{U}_u\mathrm{\Delta }{V}_u,$

donde$\mathrm{\Delta }{U}_t=U(t)-U(t-)$. Este resultado puede ser visto como un precursor del Lema de Itō, y es de uso en la teoría general de integración estocástica. El término final es $\mathrm{\Delta }U(t)\mathrm{\Delta }V(t)=d[U,V]$, que surge de una covarianza cuadrada de $U$ y $V$. (El resultado anterior puede ser visto entonces como un resultado relativo a la integral de Stratonovich.)

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando g(x) = x para todo número real x, entonces μ_g es la medida de Lebesgue, y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f.

Integración de Riemann–Stieltjes y teoría de probabilidades

Cuando f es una función continua con valores reales de una variable real, y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue–Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en cuyo caso usualmente se escribe

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dv(x)$

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, manteniendo implícita la medida μ_v. Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando v es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, en cuyo caso

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dv(x)=\mathrm{E}[f(X)].$

(Ver el artículo integral de Riemann-Stieltjes para mayor información acerca del tratamiento de estos detalles.)

Referencias

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation.
• Plantilla:Cita libro
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.