Integral de Wallis

Se llaman integrales de Wallis a un conjunto de integrales introducidas por Wallis, que conforman una sucesión de integrales. El término n-ésimo de la sucesión de integrales de Wallis viene dado por: Plantilla:Ecuación La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral, $y=\frac{\pi }{2}-x$ y luego renombrando $y$ en $x$.

Propiedades elementales

Los términos $w_n$ son positivos no nulos porque las funciones $f_n(x)=x\mapsto {\sin }^{n}x$ lo son sobre el intervalo $]0;\frac{\pi }{2}]$ . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre $]0;\frac{\pi }{2}[$, sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión $n\mapsto r^n$ decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia: Plantilla:Ecuación porque sobre $]0;\frac{\pi }{2}[,{\sin }^{n}x>0,\text{ y }\sin x-1<0$ luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa. La función $f_n$ tiende hacia 0 para todo x en $[0;\frac{\pi }{2}[$ cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto $[0;\frac{\pi }{2}]$: Plantilla:Ecuación

Formas explícitas de las integrales de Wallis

Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente: Plantilla:Ecuación Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por integración por partes: Plantilla:Ecuación La integral $u_n$ se obtiene por integración por partes. Primero se integra ${\sin }^{n}x\cdot \cos x$ en: Plantilla:Ecuación y se deriva $\cos x$ en $-\sin x$: Plantilla:Ecuación Por tanto tenemos: $w_{n+2}=w_n-\frac{w_{n+2}}{n+1}$ lo que equivale a $(n+1)w_{n+2}=(n+1)w_n-w_{n+2}$ es decir $(n+2)w_{n+2}=(n+1)w_n$ luego $w_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}{w}_n$ lo que se escribe también $w_n=\frac{n-1}{n}{w}_{n-2}$ Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de $u_1$ y los de rango par en función de $u_0$. En concreto:

Para n impar: $n=2k+1$ y $w_n=\frac{(n-1)(n-3)...4\times 2}{n(n-2)...3\times 1}{w}_1$ $=\frac{(n-1){\mathrm{\backslash color}}^2(n-3){\mathrm{\backslash color}}^2...4{\mathrm{\backslash color}}^2\times 2{\mathrm{\backslash color}}^2}{n(n-1)(n-2)(n-3)...3\times 2\times 1}$ $=\frac{((2k)(2k-2)...4\times 2{)}^2}{n!}$ $=\frac{((2k)(2(k-1))...(2\times 2)(2\times 1){)}^2}{n!}$ $=\frac{(2^k\times k!{)}^2}{n!}$ $=\frac{2^{2k}{(k!)}^2}{n!}$ $=\frac{2^{n-1}{\left(\frac{n-1}{2}\right)!}^2}{n!}$ porque $k=\frac{n-1}{2}$; donde n! y k! son las factoriales de n y k.

Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:

$w_n=\frac{(n-1)(n-3)...3\times 1}{n(n-2)...4\times 2}{w}_0$ $=\frac{n(n-1)(n-2)...3\times 2}{(n(n-2)...4\times 2{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}$ $=\frac{n!}{{(2^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{2}\right)!)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}$ $=\frac{n!\pi }{2^{n+1}{\left(\frac{n}{2}\right)!}^2}$

Aplicación a la fórmula de Stirling

La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión $\left(w_n\right)$ es decreciente, y $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{w_{n+2}}{w_n}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n+2}=1$.

Luego $w_{n+2}<w_{n+1}<w_n$$⟹\frac{w_{n+2}}{w_n}<\frac{w_{n+1}}{w_n}<1$ lo que da $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{w_{n+1}}{w_n}=1$ es decir $w_{n+1}\sim w_n$

Tomando n par, tenemos

$w_n=\frac{n!\pi }{2^{n+1}{\left(\frac{n}{2}\right)!}^2}\text{ y }{w}_{n+1}=\frac{2^n{\left(\frac{n}{2}\right)!}^2}{(n+1)!}$

pues n+1 es impar.

Al multiplicar las fracciones se simplifican: $w_n\cdot w_{n+1}=\frac{n!\pi }{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{(n+1)!}=\frac{\pi }{2(n+1)}\sim \frac{\pi }{2n}$ luego $w_n^2\sim \frac{\pi }{2n}$ y sacando la raíz: $w_n\sim \sqrt{\frac{\pi }{2n}}$

Ahora introduzcamos en $w_n$ la equivalencia $n!{\sim }_{{}_{+\mathrm{\infty }}}C\sqrt{n}{n}^n{e}^{-n}$.

$w_n\sim \frac{C\sqrt{n}{n}^n{e}^{-n}\pi }{2^{n+1}{\left(C\sqrt{\frac{n}{2}}{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\frac{n}{2}}{e}^{-\frac{n}{2}}\right)}^2}=\frac{C\sqrt{n}{n}^n{e}^{-n}\pi }{2^{n+1}{C}^2\frac{n}{2}{\left(\frac{n}{2}\right)}^n{e}^{-n}}=\frac{\sqrt{n}{n}^n\pi }{2^{n+1}C\frac{n^{n+1}}{2^{n+1}}}$

$=\frac{\sqrt{n}\pi }{nC}=\frac{\pi }{\sqrt{n}C}$

.

Comparando con el último equivalente de $w_n$, se obtiene: $w_n\sim \sqrt{\frac{\pi }{2n}}\sim \frac{\pi }{\sqrt{n}C}$ luego $\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{C}$ y finalmente: $C=\pi \sqrt{\frac{2}{\pi }}=\sqrt{2\pi }$.

Referencias

Enlaces externos

• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.