Lema de Jordan

En análisis complejo, el lema de Jordan es un resultado frecuentemente utilizado conjuntamente con el teorema de los residuos para evaluar integrales de contorno e integrales impropias. Debe su nombre al matemático francés Camille Jordan.

Enunciado

Sea Plantilla:Math una función continua evaluada en el cuerpo de los complejos, definida en un contorno semicircular

$C_R=\{R{e}^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}$

De radio positivo Plantilla:Math sobre el semiplano superior, centrado en el origen. Si la función Plantilla:Math es de la forma

$f(z)=e^{iaz}g(z),z\in C_R,$

con un parámetro positivo Plantilla:Math, entonces el lema de Jordan establece la siguiente cota superior para la integral de contorno:

$|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|\le \frac{\pi }{a}{M}_R\text{donde}{M}_R:=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\left(R{e}^{i\theta }\right)\right|.$

El mismo resultado es aplicable al semiplano inferior (y no al semiplano superior) cuando Plantilla:Math

Observaciones

• Si Plantilla:Math es continuo en el contorno semicircular Plantilla:Math para todo R grande

Plantilla:NumBlk entonces por el lema de Jordan

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{C_R}{\int }f(z)dz=0.$

• Para el caso Plantilla:Math = 0, véase el lema de valoración.
• Comparado al lema de valoración, el límite superior en el lema de Jordan no depende explícitamente de la longitud del contorno de Plantilla:Math.

Aplicación del lema de Jordan

El camino Plantilla:Math es la concatenación de los caminos Plantilla:Math y Plantilla:Math

El lema de Jordan nos ofrece una forma sencilla de calcular la integral a lo largo del eje real de funciones del tipo Plantilla:Math que sean holomorfas en el semiplano superior y continuas en el cierre del semiplano superior excepto en un número fínito de singularidades fuera del eje real Plantilla:Math, Plantilla:Math, …, Plantilla:Math. Consideramos el contorno cerrado Plantilla:Math el cual es la concatenación de los caminos Plantilla:Math y Plantilla:Math, como se muestra en la imagen. Por definición:

${\oint }_{C}f(z)dz=\underset{C_1}{\int }f(z)dz+\underset{C_2}{\int }f(z)dz.$

Dado que en Plantilla:Math la variable Plantilla:Math es real, la segunda integral es real:

$\underset{C_2}{\int }f(z)dz=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}f(x)dx.$

El lado izquierdo puede ser calculado usando el teorema de los residuos para obtener, para todo Plantilla:Math mayor que el máximo de Plantilla:Math, Plantilla:Math, …, Plantilla:Math,

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k),$

Dónde Plantilla:Math denota el residuo de Plantilla:Math en la singularidad Plantilla:Math. De ahí, si Plantilla:Math satisface la condición $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_R=0$, entonces tomando el límite donde Plantilla:Math tiende a infinito, la integral de contorno sobre Plantilla:Math se anula por el lema de Jordan, y obtenemos el valor de la integral impropia

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k).$

Ejemplo

La función

$f(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2},z\in ℂ\setminus \{i,-i\},$

Satisface la condición del lema de Jordan con Plantilla:Math = 1 para todo Plantilla:Math con Plantilla:Math. Véase que, para Plantilla:Math,

$M_R=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\frac{1}{|1+R^2{e}^{2i\theta }|}=\frac{1}{R^2-1},$

Por ello la condición $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_R=0$ se cumple. Dado que la única singularidad de Plantilla:Math en el semiplano superior está en Plantilla:Math, obtenemos que la integral impropia sobre todo el eje real cumple que:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=2\pi i\mathrm{Res}(f,i).$

Dado que Plantilla:Math es un polo simple de Plantilla:Math y Plantilla:Math obtenemos que

$\mathrm{Res}(f,i)=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)f(z)=\underset{z\to i}{\lim }\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}$

y por lo tanto:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\mathrm{Re}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{e}.$

Este resultado ejemplifica la forma en la que algunas integrales complicadas de computar por otros métodos son fácilmente evaluadas con la ayuda del análisis complejo.

Prueba del lema de Jordan

Por la definición de la integral de línea compleja,

$\underset{C_R}{\int }f(z)dz=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R{e}^{i\theta })e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}iR{e}^{i\theta }d\theta =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R{e}^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }d\theta .$

Véase que la desigualdad

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

nos lleva a que

$I_R:=|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|\le R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R{e}^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }|d\theta =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R{e}^{i\theta })|e^{-aR\sin \theta }d\theta .$

Usando $M_R:=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\left(R{e}^{i\theta }\right)\right|$ y la simetría Plantilla:Math obtenemos que

$I_R\le R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta =2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta .$

Dado que la gráfica de Plantilla:Math es cóncava en el intervalo Plantilla:Math, la gráfica de Plantilla:Math se encuentra por encima de la línea que conecta sus puntos inicial y final, por lo tanto:

$\sin \theta \ge \frac{2\theta }{\pi }$

para todo Plantilla:Math, lo que implica que

$I_R\le 2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-2aR\theta /\pi }d\theta =\frac{\pi }{a}(1-e^{-aR})M_R\le \frac{\pi }{a}{M}_R.$

Referencias

• Plantilla:Cita libro