Lema de escisión
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En matemáticas, más específicamente en álgebra homológica, el lema de escisión declara que, en cualquier categoría abeliana, las tres proposiciones para una secuencia exacta corta que se exponen a continuación son equivalentes.
Dada una secuencia exacta corta con morfismos Plantilla:Math y Plantilla:Math, entre los objetos de la categoría:
Sobre la que añadimos las flechas adicionales t y u para señalar unos morfismos que podrían no existir:
Tenemos que las proposiciones siguientes son equivalentes:
- Escisión izquierda: Existe un morfismo Plantilla:Math tal que Plantilla:Math es la identidad en Plantilla:Math.
- Escisión derecha: Existe un morfismo Plantilla:Math tal que Plantilla:Math es la identidad en Plantilla:Math.
- Suma directa: Plantilla:Math es isomorfo a la suma directa de Plantilla:Math y Plantilla:Math, con Plantilla:Math correspondiendo a la inyección natural de Plantilla:Math y Plantilla:Math correspondiendo a la proyección natural en Plantilla:Math. De forma más precisa, hay un isomorfismo de secuencias exactas cortas entre la secuencia dada y la secuencia con Plantilla:Math sustituido por la suma directa de Plantilla:Math y Plantilla:Math, donde los morfismos son la inclusión y proyección canónicas. Sólo un isomorfismo de B con la suma directa no es suficiente.
La secuencia exacta corta se dice escindida si estas proposiciones se cumplen.
Referencias
- Saunders Mac Lane: Homology. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, ISBN 3-540-58662-8, p.16
- Allen Hatcher: Algebraic Topology. 2002, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, p.147