Método de Descartes (ecuación de cuarto grado)

El método de Descartes es un método introducido en 1637 por el matemático francés René Descartes en su obra "La Géométrie", para la resolución de la ecuación de cuarto grado que, a diferencia con el método de Ferrari, trata de factorizar la ecuación cuártica reducida en dos polinomios cuadráticos con tal de llegar a las soluciones de la ecuación original.

Estrategia general

Sea la ecuación de cuarto grado

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

se tiene que reducir a su forma reducida, haciendo una transformación de Tschirnhaus, por tanto esto resulta en lo siguiente:

$w^4+r{w}^2+sw+t=0$,

donde

$r=\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2}=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}$

$s=\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3}=\frac{b^3-4abc+8a^{2}d}{8a^3}$

$t=\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}=\frac{256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4}{256a^4}$

Dicha ecuación de cuarto grado se factoriza en dos polinomios cuadráticos:

$(w^2+\alpha w+\beta )(w^2-\alpha w+\gamma )=0$

Al efectuar el producto y relacionarlo con la ecuación cuártica reducida, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{c}\beta +\gamma -{\alpha }^2=r\\ \alpha (\gamma -\beta )=s\\ \beta \gamma =t\end{array}$

En este sistema, después de varias operaciones, obtenemos una ecuación que aparentemente es de sexto grado:

${\alpha }^6+2r{\alpha }^4+(r^2-4t){\alpha }^2-s^2=0$,

que en términos de ${\alpha }^2$ es una ecuación cúbica, por tanto sustituimos ${\alpha }^2$ por $y$.

${\alpha }^2=y\to y^3+2r{y}^2+(r^2-4t)y-s^2=0$,

que puede ser resuelta por el método de Cardano (en caso de que la ecuación tuviere dos o tres raíces reales, se toma la primera raíz como primera prioridad), donde $y$ debe ser una raíz real positiva de la ecuación cúbica resolvente.

Luego de hacer cálculos posteriores, obtenemos las cuatro soluciones de la ecuación original:

$x_1=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_2=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r-\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_3=\frac{-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_4=\frac{-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2r+\frac{2s}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

Véase también

• Método de Ferrari
• René Descartes
• La Géométrie
• Ecuación de cuarto grado
• Cúbica resolvente