Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos alemanes C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sean:

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t))$

una ecuación diferencial ordinaria, con $f:\mathrm{\Omega }\subset ℝ\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ donde $\mathrm{\Omega }$ es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

$(t_0,y_0)\in \mathrm{\Omega }.$

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{k}_i$,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento $\mathrm{\Delta }{t}_n$ entre los sucesivos puntos $t_n$ y $t_{n+1}$. Los coeficientes $k_i$ son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

$k_i=f(t_n+h{c}_i,y_n+h\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{k}_j)i=1,...,s.$

con $a_{ij},b_i,c_i$ coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes $a_{ij}$ del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, $a_{ij}=0$ para $j=i,...,s$, los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en $t=t_n$ y otra en $t=t_n+\mathrm{\Delta }{t}_n$. ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

$f_n=k_1=f(t_n,y_n)$

Para estimar ƒ(t,y) en $t=t_n+\mathrm{\Delta }{t}_n$ se usa un esquema taylor

$f_{n+1}=k_2=f(t_n+\mathrm{\Delta }{t}_n,y_n+\mathrm{\Delta }{t}_n{k}_1).$

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

$y_{n+1}=y_n+\underset{t_n}{\overset{t_{n+1}}{\int }}f(t,y(t))dt,$

de manera que se obtiene la expresión:

$y_{n+1}=y_n+\frac{\mathrm{\Delta }{t}_n}{2}(k_1+k_2).$

Los coeficientes propios de este esquema son: $b_1=b_2=1/2;a_{21}=1;c_2=1.$

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

Métodos de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente es el de cuarto orden. Es usado tanto que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

$y^{\prime }=f(x,y),y(x_0)=y_0$

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}h(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

Donde

$\{\begin{array}{cc}{k}_1& =f(x_i,y_i)\\ k_2& =f(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}{k}_{1}h)\\ k_3& =f(x_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}{k}_{2}h)\\ k_4& =f(x_i+h,y_i+k_{3}h)\end{array}$

Así, el siguiente valor (y_n+1) es determinado por el presente valor (y_n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde $k_1$ es la pendiente al principio del intervalo, $k_2$ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando $k_1$ para determinar el valor de y en el punto $x_n+\frac{h}{2}$ usando el método de series de Taylor. $k_3$ es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando $k_2$ para determinar el valor de y; $k_4$ es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por $k_3$. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

$\text{pendiente}=\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}.$

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de $O(h^5)$, mientras que el error total acumulado tiene el orden $O(h^4)$. Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de $O(h^4)$, razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

Véase también

• Método de Euler
• Método de Dormand-Prince

Referencias

• J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo y A. Rodríguez-Bernal. "Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Paraninfo, Madrid, 2020. Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN.

• Plantilla:Cita libro

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• TEMA 1 Problemas de Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Métodos Numéricos de un paso.
• Explicación gráfica del Método Runge Kutta