Matriz compañera

En álgebra lineal, la matriz compañera del polinomio mónico

$p(t)=c_0+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}+t^n,$

es la matriz cuadrada definida como

$C(p)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -c_0\\ 1& 0& \dots & 0& -c_1\\ 0& 1& \dots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right].$

Esta matriz junto con una base Plantilla:Math, transforma el polinomio Plantilla:Math en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas de la forma:

$t^n\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)=t^{n-1}\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -c_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ v_{n}p(t)\end{array}\right)$

Con este convenio, y sobre la base Plantilla:Math, uno tiene

$C{v}_i=C^i{v}_1=v_{i+1}$

(Para Plantilla:Math), y Plantilla:Math generar V como Plantilla:Math-módulo: C ciclos de vectores de la base.

Algunos autores utilizan la transposición de esta matriz, que es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineales.

Caracterización

El polinomio característico así como el polinomio mínimo de Plantilla:Math son iguales a p.

En este sentido, la matriz Plantilla:Math es la "compañera" del polinomio p.

Si A es una matriz de n por n con entradas en algún cuerpo K, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

• A es similar a la matriz compañera sobre K de su polinomio característico.
• El polinomio característico de A coincide con el polinomio mínimo de A, equivalentemente, el polinomio mínimo tiene grado n.
• Existe un vector cíclico Plantilla:Math en $V=K^n$ para A, lo que significa que {v, Av, A²v,..., Aⁿ⁻¹v} es una base de V. De manera equivalente, si V es cíclico como una $K[A]$-module (y $V=K[A]/(p(A))$); se dice que A es regular.

No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera. Pero toda matriz es similar a una matriz formada por bloques de matrices de compañía. Además, estas matrices de compañía pueden ser elegidas de modo que sus polinomios se dividan entre sí; entonces, se determinan de forma única por A. Esta es la forma canónica relacional de A.

Diagonalización

Si Plantilla:Math tiene raíces distintas Plantilla:Math (los valores propios de C(p)), entonces C(p) es diagonalizable como sigue:

$VC(p)V^{-1}=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$

donde V es la matriz de Vandermonde correspondiente a los Y's.

En este caso, trazas de las potencias m de C producen fácilmente sumas de las mismas potencias m de todas las raíces de p(t),

$\mathrm{T}\mathrm{r}{C}^m=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^m.$

En general, la matriz compañero puede ser no diagonalizable.

Secuencias lineales recursivas

Dada una secuencia lineal recursiva con polinomio característico

$p(t)=c_0+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}+t^n$

la matriz compañera

$C^T(p)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -c_0& -c_1& -c_2& \cdots & -c_{n-1}\end{array}\right]$

genera la secuencia, en el sentido de que

$C^T\left[\begin{array}{c}{a}_k\\ a_{k+1}\\ ⋮\\ a_{k+n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{k+1}\\ a_{k+2}\\ ⋮\\ a_{k+n}\end{array}\right].$

incrementa la serie en 1.

El vector Plantilla:Math es un vector propio de esta matriz de valor propio t, cuando t es una raíz del polinomio característico Plantilla:Math.

Para Plantilla:Math, y para todo Plantilla:Math, i.e., Plantilla:Math, esta matriz se reduce a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester, o matriz circulante.

Véase también

• Endomorfismo de Frobenius
• Teorema de Cayley-Hamilton

Notas

Plantilla:Control de autoridades