Medida de Mahler

En matemáticas, la medida de Mahler $M(p)$ de un polinomio p es

$M(p)=\underset{\tau \to 0}{\lim }||p|{|}_{\tau }=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p(e^{i\theta })|)d\theta ).$

Aquí se presupone que p toma valores complejos y

$||p|{|}_{\tau }={\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|p(e^{i\theta }){|}^{\tau }d\theta \right)}^{1/\tau }$

es la norma L_τ de p (aunque ésta no es una auténtica norma para τ < 1).

Se puede mostrar que si

$p(z)=a(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$

entonces

$M(p)=|a|\prod _{|{\alpha }_i|\ge 1}|{\alpha }_i|.$

La medida de Mahler de un número algebraico α se define como la medida de Mahler del polinomio mínimo de α sobre Q.

La medida se llama así en honor a Kurt Mahler.

Propiedades

• La medida de Mahler es multiplicativa, es decir, M(pq) = M(p)M(q).

Referencias

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Enlaces externos

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