Modelización combinatoria

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Una modelización matemática se basa en la compresión de fenómenos reales, obteniendo resultados matemáticos. Dubois (1984) propone cuatro modelizaciones distintas que se encuentran relacionadas entre sí:

  • 1ª modelización: selección o muestreo simple de una muestra a partir de k objetos de un total de n objetos distinguibles.
  • 2ª modelización: distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.
  • 3ª modelización: partición en subconjuntos n de un conjunto de objetos k
  • 4ª modelización: descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos.


1ª Modelización

Selección o muestreo simple, de k objetos de un total de n objetos distinguibles.

En esta modelización hay 4 posibles tipos de selección:

Muestra ordenada

Si la muestra está ordenada, importa el orden de sus objetos, se hallan con los siguientes casos:

  • Sin reemplazamiento:
El número de selecciones que se producen viene dada por la Variación: V(n,k).
  • Con reemplazamiento:
La cantidad de selecciones se calculan mediante Variaciones con repetición: VR(n,k).

Muestra no ordenada

Si la muestra no está ordenada, el orden de sus objetos no es importante, se distinguen estos casos:

  • Sin reemplazamiento:
Las posibles selecciones en este caso se obtienen con Combinaciones: Cn,k.
  • Con reemplazamiento:
El número total de selecciones viene dado por Combinaciones con repetición: CRn,k.

Hay un caso particular de Variación: V(n,n) que se conoce como Permutación: Pn, este caso corresponde al número de muestras ordenadas sin reemplazamiento de n objetos de un conjunto de n objetos distinguibles. 

Sin reemplazamiento se refiere a que el elemento utilizado ya no puede volverse a usar, mientras con reemplazamiento si.

2ª Modelización

Distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.

Para dicha modelización hay que diferencia la situación en la que se encuentran los n recipientes para saber el tipo de aplicación a la que corresponde.

Distribución ordenada

Si la distribución se encuentra ordenada existen 8 tipos de distribuciones, en las que los objetos serán distinguibles. Podemos diferenciar entre recipientes distinguibles e indistinguibles.


  • En los recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
  • Aplicaciones cualesquiera:
El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por Combinación con repetición: P(k)CR(n,k).
El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k) .
Para averiguar el número de distribuciones se realiza el producto de Permutación por los números de Lah sin signo: P(n)L(k,n).
El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).


  • En los recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones::
  • Aplicaciones cualesquiera:
El número de distribuciones viene dado por A(k,n) = ∑i=1nL(k,i).
El número de distribuciones es 1.
Para averiguar el número de distribuciones se utiliza los números de Lah sin signo: L(k,n).
El número de distribuciones es 1.

Distribución no ordenada

Si la distribución se encuentra ordenada existen 16 tipos de distribuciones, en las que podemos diferenciar entre objetos distinguibles e indistinguibles.

  • En los objetos distinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:
  • Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
  • Aplicaciones cualesquiera:
El número de distribuciones viene dado por la Variación con repetición: VR(n,k).
El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k).
El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por el número de Stirling de 2.ª especie:P(n)S(k, n).
El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).


  • Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
  • Aplicaciones cualesquiera:
∑(k,n).
El número de distribuciones es 1.
El número de distribuciones se calcula por el número de Stirling de 2.ª especie: S(k, n).
El número de distribuciones es 1.


  • En los objetos indistinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:
  • Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
  • Aplicaciones cualesquiera:
El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k).
El número de distribuciones viene dado por Combinación : C(n,k).
El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k-n).
El número de distribuciones es 1.


  • Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
  • Aplicaciones cualesquiera:
Π(k,n).
El número de distribuciones es 1.
El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia.
El número de distribuciones es 1.

3ª Modelización

Partición de un conjunto S de k elementos en n subconjuntos.

En esta modelización se pueden diferenciar distintos tipos de particiones simples:

Subconjunto no ordenado y elementos distinguibles

Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos son distinguibles se aprecian 8 tipos de particiones:

  • Particiones ordenadas:
    • Vacío y no unitarios:
Para obtener el número de particiones se hace mediante Variaciones con repetición: VR(n,k).
  • Vacío y unitarios:
El total de particiones se obtiene con Variaciones: V(n,k).
  • No vacíos:
El cálculo de dichas particiones se consiguen mediante el producto de la Permutación por el Números de Stirling de segunda especie: P(n)S(k,n).
  • Unitarios:
La cantidad de particiones viene dada por la Permutación: Pn.


  • Particiones no ordenadas:
    • Vacío y no unitarios:
∑(k,n).
  • Vacío y unitarios:
El número de posibles particiones es 1.
  • No vacíos:
El número de particiones viene dada por el Números de Stirling de segunda especie: S(k,n).
  • Unitarios:
El número de posibles particiones es 1.

Subconjunto no ordenado y elementos indistinguibles

Si el subconjunto no está ordenado y sus elementos no se pueden distinguir, pueden apreciarse 8 tipos:

  • Particiones ordenadas:
    • Vacío y no unitarios:
Para calcular las posibles particiones hay que utilizar Combinaciones con repetición: CR(n,k).
  • Vacío y unitarios:
El número total de particiones viene dado por Combinaciones: Cn,k.
  • No vacíos:
La cantidad de particiones se calcula mediante Combinaciones con repetición: CR(n,k−n).
  • Unitarios:
El número de posibles particiones es 1.


  • Particiones no ordenadas:
    • Vacío y no unitarios:
∏(k,n).
  • Vacío y unitarios:
El número de posibles particiones es 1.
  • No vacíos:
p(k,n).
p(k,n) tiene que satisfacer la recurrencia p(k,n) = p(k−1,n−1) + p(k−n,n) (1<n<k), con p(0,0) = 1 y p(k,1) = p(n,n) = 1 (1⩽k,n)
  • Unitarios:
El número de posibles particiones es 1.

Subconjunto ordenado y elementos distinguibles

Si el subconjunto se encuentra ordenado y cuyos elementos son distinguibles, hay 8 tipos de particiones:

  • Particiones ordenadas:
    • Vacío y no unitarios:
El número total de particiones se calcula con el producto de la Permutación por Combinaciones con repetición: P(n)CR(n,k).
  • Vacío y unitarios:
Las posibles particiones vienen dada por la Variación: V(n,k).
  • No vacíos:
Para el cálculo de las posibles particiones se realiza el producto de la Permutación por los números de Lah sin singno: P(n)L(k,n).
  • Unitarios:
El número de particiones viene dada por Permutación: Pn.


  • Particiones no ordenadas:
    • Vacío y no unitarios:
El cálculo de particiones viene dado por A(k,n) = ∑i=1nL(k,i).
  • Vacío y unitarios:
El número de posibles particiones es 1.
  • No vacíos:
Las particiones se calcular mediante los números de Lah sin singno L(k,n) = k!n!(k−1n−1).
  • Unitarios:
El número de posibles particiones es 1.
Cuando un subconjunto está vacío se refiere a que dentro de él no hay ningún elemento. Cuando es unitario se debe a que en cada subconjunto solo hay un elemento y no unitario porque hay más de un elemento.

4ª Modelización

Descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos. Un entero positivo k se puede descomponer en n sumandos enteros no negativos, se clasifican dependiendo de su descomposición y sus sumandos:

  • La descomposición se puede calificar en dos tipos:
  • Ordena
  • No ordenada
  • Los sumandos pueden clasificarse como:
  • No negativos
  • Cero y uno
  • Positivos
  • Uno

Descomposición ordenada

Si la descomposición se encuentra ordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:

  • No negativos
El número de descomposiciones vienen dados por la Combinación con repetición: CR(n,k)
  • Cero y uno
El número de descomposiciones se calculan por la Combinación: C(n,k)
  • Positivos
Las descomposiciones se calculan por la Combinación con repetición: CR(n,k-n)
  • Uno
El número de distribuciones es 1

Descomposición desordenada

Si la descomposición se encuentra desordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:

  • No negativos
Π(k,n)
  • Cero y uno
El número de distribuciones es 1
  • Positivos
El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia
  • Uno
El número de distribuciones es 1

Enlaces externos

Modelización

Referencias

Plantilla:Control de autoridades

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