Número de Størmer

Un número de Størmer, también denominado número arcotangente-irreductible , es un número natural n, para el cual el factor primo más grande de (n² + 1) es mayor o igual a 2n. El nombre se debe al geofísico y matemático noruego Carl Størmer.

Definición

Un número natural $n$ es un número de Størmer si existe un número primo $p$ con $p\ge 2n$ y $p|(n^2+1)$, donde | denota la relación de divisibilidad.

Ejemplo

n=33 es un número de Størmer. El mayor factor primo de $n^2+1=33^2+1=1090=2\cdot 5\cdot 109$ es $109$ y este es mayor que $2n=2\cdot 33=66$.

Números de Størmer

Los siguientes son números de Størmer:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, ...

Ocurrencias

Los números de Størmer aparecen, por ejemplo, en el examen de los valores de la función arcotangente para argumentos enteros. Un valor tal se llama $\arctan (n)$-reducible, cuando se puede expresar como combinación lineal entera (de coeficientes enteros):

$\arctan (n)=\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k\cdot \arctan (k),a_k\in \mathbb{Z}$

de valores de esta función para argumentos enteros menores, como por ejemplo:

$\arctan (3)=3\cdot \arctan (1)-\arctan (2)$,

$\arctan (7)=-\arctan (1)+2\cdot \arctan (2)$,

$\arctan (8)=2\cdot \arctan (1)+\arctan (3)-\arctan (5)$.

Resulta entonces que $\arctan (n)$ es irreducible, o sea, no puede expresarse por una combinación lineal del tipo indicado, exactamente cuando $n$ es un número de Størmer. Esto explica la denominación alternativa número arcotangente-irreductible que se menciona al comienzo.

Enlaces externos

• Størmer number (MathWorld)