Arcotangente

Plantilla:Ficha de función En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

$y=\mathrm{arctg}\alpha$

su significado geométrico es el arco $y$ (en radianes) cuya tangente es $\alpha$.

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convenio es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

Notación

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan^-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Propiedades

Es una función continua y derivable, de clase ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}(x)$.

Algunos valores especiales

$\mathrm{arctg}(0)=0$

$\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$

$\mathrm{arctg}(1)=\frac{\pi }{4}$

$\mathrm{arctg}(\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}$

Límites en infinito

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arctg}(x)=\frac{\pi }{2}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arctg}(x)=-\frac{\pi }{2}$

Derivadas y crecimiento

$(\mathrm{arctg}(x){)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

$(\mathrm{arctg}(x){)}^{″}=-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}$, que es positivo en ${ℝ}^{-}$ y negativo en ${ℝ}^{+}$.

Integral indefinida

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de $\mathrm{arctg}(x)$:

$\int \mathrm{arctg}(x)dx=$ $\int \mathrm{arctg}(x)\cdot 1dx=$ $\mathrm{arctg}(x)\cdot x-\int x\cdot \frac{1}{x^2+1}dx=$ $\mathrm{arctg}(x)\cdot x-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$

Serie de Maclaurin

$\mathrm{arctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ para }\left|x\right|<1.$

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

Véase también

• Trigonometría
• Función trigonométrica
• Identidad trigonométrica

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
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