Norma del supremo

En análisis matemático, la norma del supremo (o también conocida como la norma uniforme) asigna a funciones acotadas de valores complejos $f:S\to ℂ$ número no negativo

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty },S}:=\sup \{|f(x)|,x\in S\}$

(de una forma análoga podemos definir la norma del supremo para funciones a valores reales $f:S\to ℝ$ ).

Esta norma es también llamada como la norma de Chebyshev, la norma infinito, la norma sup, o también, cuando el supremo es de hecho un máximo, en tal caso pasa a llamarse la norma del máximo. Uno de sus tantos nombres, la "norma uniforme" proviene del hecho de que la sucesión $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $f$ bajo la norma uniforme si y solo si $f_n$ converge a $f$ uniformemente.

El matemático Pafnuty Chebyshev fue el primero en estudiar esta norma de manera sistemática (de ahí el nombre de "norma de Chebyshev").

Definición

Sea $S$ un conjunto cualquiera, definimos el conjunto de las funciones acotadas en $S$, es decir

$C(S):=\{f:S\to ℂ,\text{ existe }M\ge 0\text{ tal que }|f(x)|\le M\mathrm{\forall }x\in S\}$,

en otras ocasiones este conjunto suele escribirse como $C_b(S)$ (la letra $b$ viene por la palabra bounded en inglés que significa acotada), o también en otros casos ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(S)$ o también ${\ell }_b^{\mathrm{\infty }}(S)$ (se usa este término en casos que la topología de $S$ tenga una forma específica). No es difícil ver que mediante las operaciones puntuales el conjunto $C(S)$ se transforma en un espacio vectorial.

Si definimos la función $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}:C(S)\to [0,+\mathrm{\infty })$ de la forma

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty },S}:=\sup \{|f(x)|,x\in S\}$

tenemos que el par $(C(S),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ se transforma en un espacio vectorial normado, es decir, $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ es una norma. Finalmente a esta función la llamamos como la norma del supremo.

Norma del supremo para funciones no acotadas

Observe que si la condición de ser acotada es retirada, entonces puede existir $\phi \in C(S)$ tal que $\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$ . Por lo tanto en este caso la función $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ deja de ser una norma, sin embargo es posible definir una topología de todas formas en el espacio $C(S)$ y

$\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ pasa a ser una métrica extendida.

No es difícil encontrar ejemplos en que $\Vert \phi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$. Si consideramos $S:=(0,1)$ entonces definiendo la función $\phi :S\to ℂ$ dada por

$\phi (x):=\frac{1}{x}$, para todo $x\in S=(0,1)$

satisface lo que necesitamos.

Ejemplos

El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en ${ℝ}^2$ tal que la norma del supremo es igual a una constante positiva. Por ejemplo, los puntos $(2,0)$, $(2,1)$ y $(2,2)$ se encuentran en el perímetro de un cuadrado y pertenecen al conjunto de vectores cuya norma del supremo es igual a $2$.

Caso Real y Complejo

Si consideramos al conjunto $S$ como un conjunto finito, por ejemplo si $S:=\{1,2,\dots ,n\}$ , entonces no es difícil notar que $C(S)={ℂ}^n$ (de una manera análoga podemos construir ${ℝ}^n$) y en este caso podemos notar que la norma del supremo toma la forma de la famosa norma del máximo en ${ℂ}^n$ (o análogamente en ${ℝ}^n$), esto es

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\max (\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_n\right|)=\Vert x{\Vert }_{\text{max}}$.

¿Por qué el subíndice infinito?

Sea $\lambda$ la medida de Lebesgue en ${ℝ}^n$, entonces definimos la norma p (o también conocida como la p-norma)

$\Vert f{\Vert }_p:={\left(\underset{{ℝ}^n}{\int }{\left|f\right|}^{p}d\lambda \right)}^{1/p}$,

para toda función $f:{ℝ}^n\to {ℂ}^n$ tal que $f$ sea $\lambda$-medible (observe que este valor puede ser infinito).

Finalmente, si $f:S\to ℂ$ es acotada y existe $q$ tal que $\Vert f{\Vert }_q$ sea finito entonces se tiene que

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f{\Vert }_p=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Este resultado es generalizable para funciones de tipo $f:D\to {ℂ}^n$ donde $D$ es un espacio de medida de medida $\mu$ y $f$ es una función $\mu$-medible.

Véase también

• Continuidad uniforme
• Espacio Uniforme
• Distancia de Chebyshev
• Álegbra de Banach
• C*-álgebra