Normalizador

En teoría de grupos, el normalizador de un subconjunto S de un grupo G es el mayor subgrupo de G para el cual la acción de conjugación deja invariante a S. Cuando el conjunto consta de un solo elemento, se habla entonces de un centralizador.

Definición

En donde $gS{g}^{-1}$ es el conjunto definido como $\{gs{g}^{-1}:s\in S\}$.

En particular, si S es un subgrupo de G, entonces N(S) es el mayor subgrupo de G en el cual S es un subgrupo normal.

Propiedades

El resultado más importante es que el normalizador de un subconjunto siempre es un subgrupo.

Un caso de particular interés es cuando el subconjunto es al mismo tiempo un subgrupo. Plantilla:Teorema

Como consecuencia del teorema anterior, un subgrupo H de G es normal en G si y sólo si N(H) = G.

• Según Lang, se consideran estas dos más:
• Si K es un subgrupo del normalizador N(H), KH es un grupo y H es normal en KH.
• El normalizador de H es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Ejemplos

• El normalizador de cualquier subgrupo normal es el grupo completo. En particular N(<e>) y N(G) son ambos iguales a G.
• El subgrupo H de $S_4$ generado por el ciclo $(1,2,3,4)$ no es normal, por tanto su normalizador no es el grupo completo de permutaciones. En este caso, el normalizador de H es el subgrupo generado por las permutaciones $(1,2,3,4),(2,4),(1,3)(2,4)$.

Referencias

• Plantilla:Citation.
• Plantilla:Citation.

Bibliografía

• Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoría de grupos (1972), Mc Graw-Hill de México, impreso en Colombia.
• Zaldívar, Felipe: Introducción a la teoría de grupos (2009), Sociedad Matemática Mexicana-Reverté ediciones.
• Lang, Serge: Álgebra (1973), Aguilar, Madrid, primera reimpresión.