Notación de slash

En el estudio de campos fermiónicos en teoría cuántica de campo, Richard Feynman inventó la notación de slash. Si A es un vector covariante (es decir, una 1-forma),

$A/\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }$

donde hemos usado el convenio de suma de Einstein y $\gamma$ son las matrices gamma.

Identidades

Usando las reglas de anticonmutación de las matrices gamma, se puede mostrar que, para cualquier $a_{\mu }$ y $b_{\mu }$, se verifica que

$a/a/=a^{\mu }{a}_{\mu }=a^2$

$a/b/+b/a/=2a\cdot b$.

$a{/}^{+}={\gamma }^{0}a/{\gamma }^0$

En particular,

$\partial {/}^2={\partial }^2.$

Se pueden obtener diferentes identidades a partir de las distintas identidades de las matrices gamma al reemplazar el tensor métrico por productos interiores (o producto escalar). Por ejemplo,

$\mathrm{tr}(a/b/)=4a\cdot b$

$\mathrm{tr}(a/b/c/d/)=4[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)]$

$\mathrm{tr}({\gamma }_{5}a/b/c/d/)=4i{ϵ}_{\mu \nu \lambda \sigma }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{c}^{\lambda }{d}^{\sigma }$

${\gamma }_{\mu }a/{\gamma }^{\mu }=-2a/$.

${\gamma }_{\mu }a/b/{\gamma }^{\mu }=4a\cdot b$

${\gamma }_{\mu }a/b/c/{\gamma }^{\mu }=-2c/b/a/$

donde ${ϵ}_{\mu \nu \lambda \sigma }$ es el símbolo de Levi-Civita.

Cuadrimomento

A menudo, cuando se trabaja con la ecuación de Dirac, se usa la notación de slash para el cuadrimomento:

Utilizando la base de Dirac para las matrices $\gamma$,

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$

así como la definición del cuadrimomento

$p_{\mu }=(E,-p_x,-p_y,-p_z)$

se ve explícitamente que

$\begin{array}{cc}p/& ={\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }={\gamma }^0{p}_0+{\gamma }^i{p}_i\\ & =\left[\begin{array}{cc}{p}_0& 0\\ 0& -p_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i{p}_i\\ -{\sigma }^i{p}_i& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}E& -\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{p}\\ \overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{p}& -E\end{array}\right]\end{array}$

Se obtienen resultados similares en otras bases, como en la base de Weyl.

Véase también

• Base de Weyl
• Matrices Gamma

Referencias

• Plantilla:Cita libro

Plantilla:Control de autoridades