Notación multi-índice

La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente, un multi-índice $\alpha$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida $|\alpha |$ viene dada por: Plantilla:Ecuación Se define $\alpha !={\alpha }_1!{\alpha }_2!\dots {\alpha }_n!$ Esta notación multi-índice simplifica muchas fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable, en las ecuaciones diferenciales parciales o en la teoría de distribuciones, al generalizar el concepto de una índice entera a una tupla ordenada de índices.

Derivación

Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables: Plantilla:Ecuación

Polinomios

Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios $K[X_1,X_2,\dots ,X_n]$. La expresión $X^{\alpha }$, escrita mediante multi-índice $\alpha$, representa el monomio de n variables dado por Plantilla:Ecuación

Otros contextos y sus propiedades básicas

Un n -dimensional multiíndice es una n-tupla Plantilla:Ecuación

de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de n, denotado ${\mathbb{N}}_0^n$).

Para los multiíndices $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ y $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ se define:

Suma y diferencia por componentes

Orden parcial

Suma de componentes (valor absoluto)

Factorial

Coeficiente binomial

Coeficiente multinomial

Potencias

Derivada parcial de orden superior

Plantilla:Ecuación (véase también 4-gradiente). A veces también se utiliza la notación $D^{\alpha }={\partial }^{\alpha }$.