Octógono

Un octógono regular y sus ángulos principales

Un octógono u octágono es una figura plana con ocho lados y ocho vértices.

Características

Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, $D=n(n-3)/2$; siendo el número de lados $n=8$, se tiene:

$D=\frac{8(8-3)}{2}=20$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados o $6\pi$ radianes.

Octógono regular

Construcción de un octógono regular con regla y compás

Un octógono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135° o $3\pi /4$ rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45° o $\pi /4$ rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono). Plantilla:Ecuación pero si solo se conoce la longitud de la apotema del polígono,a, el valor del perímetro será: Plantilla:Ecuación La apotema en función del lado del polígono, $t$, es

$a=\frac{t}{2}\cdot \frac{\sin (67.5^{\circ })}{\sin (22.5^{\circ })}=\frac{t}{2}\cdot \cot (\pi /8)$

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

Octógono regular

Plantilla:Ecuación donde $\pi$ es la constante pi y $\tan$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es: Plantilla:Ecuación Si solo se conoce el lado t, se puede calcular el área con la siguiente fórmula: Plantilla:Ecuación O bien, si solo se conoce la apotema a,

$A=8\cdot a^2\cdot \frac{\sin (22.5^{\circ })}{\sin (67.5^{\circ })}=8\cdot a^2\cdot \tan (\pi /8)\simeq a^2\cdot 3.31371$

El símbolo de Schläfli del octógono regular es {8}.

Octágono irregular

Un octágono irregular es una figura plana de 8 lados con longitudes y ángulos desiguales. Esto significa que hay una enorme variación posible de combinación de longitudes y ángulos, el número de octógonos irregulares posibles es virtualmente infinito. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:

Plantilla:Ecuación Se utiliza la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

Se suman las ocho áreas y se obtiene el área del octágono irregular: El octágono irregular tiene algunos o todos sus ángulos interiores desiguales. La fórmula de su perímetro es la suma de la longitud de sus ocho lados: Plantilla:Ecuación donde L₁, L₂, ..., L₈ son los lados del octágono. También se puede expresar como: Plantilla:Ecuación

Véase también

• Polígono (geometría)
• Figura geométrica