Polinomio recíproco

En matemáticas, para un polinomio p con coeficientes complejos,

$p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\dots +a_n{z}^n$

se define el polinomio recíproco, p*

$p^{*}(z)={\bar{a}}_n+{\bar{a}}_{n-1}z+\dots +{\bar{a}}_0{z}^n=z^n\overline{p({\overline{z}}^{-1})}$

donde ${\bar{a}}_i$ denota el conjugado complejo de $a_i$.

Un polinomio se dice que es autorrecíproco si $p(z)\equiv p^{*}(z)$.

Si los coeficientes a_i son reales, entonces esto se reduce a a_i = a_n−i. En este caso, se dice que p es un polinomio palindrómico.

Si p(z) es el polinomio mínimo de z₀ con |z₀| = 1, y p(z) tiene coeficientes reales, entonces p(z) es autorrecíproco. Esto es así porque

$z_0^n\overline{p(1/\overline{z_0})}=z_0^n\overline{p(z_0)}=z_0^n\overline{0}=0$.

Por tanto, z₀ es una raíz del polinomio $z^n\overline{p({\overline{z}}^{-1})}$, que tiene grado n. Sin embargo, el polinomio mínimo es único, por tanto

$p(z)=z^n\overline{p({\overline{z}}^{-1})}.$

Una consecuencia de esto es que los polinomios ciclotómicos ${\mathrm{\Phi }}_n$ son autorrecíprocos para $n>1$. Este resultado se utiliza en la criba especial del cuerpo de números para permitir que números de la forma $x^{11}\pm 1$, $x^{13}\pm 1$, $x^{15}\pm 1$ y $x^{21}\pm 1$ puedan ser factorizados tomando partido de los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5, 6, 4 y 6 respectivamente. Nótese que el $\varphi$ de los exponentes es 10, 12, 8 and 12.

Véase también

• Transformada de Schur

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld