Primera conjetura de Hardy-Littlewood

En teoría de números, la primera conjetura de Hardy–LittlewoodPlantilla:Sfn muestra una fórmula asintótica para estimar el número de k-tuplas de primos menores que una magnitud dada mediante la generalización del teorema de los números primos. Fue propuesta por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923.

Enunciado

Sean $m_1,m_2,\dots ,m_k$ números enteros positivos pares tales que los números de la sucesión $P=(p,p+m_1,p+m_2,\dots ,p+m_k)$ no forman una clase de residuos completa con respecto a cualquier primo y sea ${\pi }_P(n)$ el número de primos $p$ menores que $n$ siendo todos $p+m_1,p+m_2,\dots ,p+m_k$ números primos. EntoncesPlantilla:SfnPlantilla:Sfn

${\pi }_P(n)\sim C_P\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{{\log }^{k+1}t},$

donde

$C_P=2^k\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q\text{ primo,}}{q\ge 3}}\frac{1-\frac{w(q;m_1,m_2,\dots ,m_k)}{q}}{{(1-\frac{1}{q})}^{k+1}}$

es un producto sobre los números primos impares y $w(q;m_1,m_2,\dots ,m_k)$ denota el número de residuos distintos de $m_1,m_2,\dots ,m_k$ módulo $q$.

El caso $k=1$ y $m_1=2$ es relacionado con la conjetura de los primos gemelos. Específicamente si ${\pi }_2(n)$ denota el número de primos gemelos menores que n, entonces

${\pi }_2(n)\sim C_2\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dt}{{\log }^{2}t},$

donde

$C_2=2\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{q\text{ primo,}}{q\ge 3}}(1-\frac{1}{(q-1{)}^2})\approx 1.320323632\dots$

es la constante de los primos gemelos.Plantilla:Sfn

Número de Skewes

Plantilla:AP Los números de Skewes para k-tuplas de primos son una extensión de la definición de número de Skewes para k-tuplas de primos basadas en la primera conjetura de Hardy–Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy–Littlewood para la k-tupla P, i.e., tal que

${\pi }_P(p)>C_P{\mathrm{li}}_P(p),$

(si tal primo existe) es el número de Skewes para P.Plantilla:Sfn

Consecuencias

La conjetura se ha mostrado inconsistente con la segunda conjetura de Hardy–Littlewood.

Generalizaciones

La Conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy–Littlewood a polinomios de grado mayor que 1.Plantilla:Sfn

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
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