Principio de acotación uniforme

En matemáticas, el principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) es uno de los resultados fundamentales en análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn–Banach y el teorema de la aplicación abierta, se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto, de operadores lineales acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme según una norma operativa.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero Hans Hahn también lo demostró de forma independiente.

Teorema

La integridad de $X$ permite plantear la siguiente breve prueba, utilizando el teorema de categorías de Baire.

También hay demostraciones sencillas que no utilizan el teorema de Baire Plantilla:Harv.

Corolarios

El corolario anterior Plantilla:Enf afirma que $T_n$ converge a $T$ en la norma del operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que $\left\{T_n\right\}$ está acotado en la norma del operador y el operador límite $T$ es continuo, una estimación estándar "$3\epsilon$" muestra que $T_n$ converge a $T$ de manera uniforme en conjuntos Plantilla:Enf.

De hecho, los elementos de $S$ definen una familia acotada puntualmente de formas lineales continuas en el espacio de Banach $X:=Y^{\prime }$, que es el espacio dual de $Y$. Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos de $S,$ como funcionales en $X$, es decir, las normas en el segundo dual $Y^{″}$ están acotadas. Pero para cada $s\in S,$ la norma en el segundo dual coincide con la norma en $Y$, como una consecuencia del teorema de Hahn–Banach.

Sean $L(X,Y)$ los operadores continuos de $X$ a $Y$, dotados de norma de operador. Si la colección $F$ no está acotada en $L(X,Y)$, entonces el principio de acotación uniforme implica que:

$R=\{x\in X:\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{T\in F}\Vert Tx{\Vert }_Y=\mathrm{\infty }\}\ne \varnothing .$

De hecho, $R$ es denso en $X$. El complemento de $R$ en $X$ es la unión contable de conjuntos cerrados $\bigcup X_n$. Según el argumento utilizado para demostrar el teorema, cada $X_n$ es denso en ninguna parte, es decir, el subconjunto $\bigcup X_n$ es Plantilla:Enf. Por lo tanto, $R$ es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, estos conjuntos (llamados Plantilla:Enf o Plantilla:Enf) son densos. Tal razonamiento conduce al Plantilla:Enf, que puede formularse de la siguiente manera:

Ejemplo: convergencia puntual de la serie de Fourier

Sea $𝕋$ el círculo y sea $C(𝕋)$ el espacio de Banach de funciones continuas en $𝕋,$ con norma del supremo. Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en $C(𝕋)$ para el cual la serie de Fourier no converge puntualmente.

Para $f\in C(𝕋),$ su serie de Fourier está definida por

$\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{2\pi }(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)e^{-ikt}dt)e^{ikx},$

y la N-ésima suma parcial simétrica es

$S_N(f)(x)=\sum _{k=-N}^N\hat{f}(k)e^{ikx}=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)D_N(x-t)dt,$

donde $D_N$ es el $N$-ésimo núcleo de Dirichlet. Ajústese $x\in 𝕋$ y considérese la convergencia de $\{S_N(f)(x)\}.$ El funcional ${\phi }_{N,x}:C(𝕋)\to ℂ$ definido por

${\phi }_{N,x}(f)=S_N(f)(x),f\in C(𝕋),$

está ligado.

La norma de ${\phi }_{N,x},$ en el dual de $C(𝕋),$ es la norma de la medida signada $(2(2\pi {)}^{-1}{D}_N(x-t)dt,$ a saber

$\Vert {\phi }_{N,x}\Vert =\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|D_N(x-t)|dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|D_N(s)|ds={\Vert D_N\Vert }_{L^1(𝕋)}.$

Se puede comprobar que

$\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|D_N(t)|dt\ge \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{|\sin ((N+\frac{1}{2})t)|}{t/2}dt\to \mathrm{\infty }.$

Entonces, la colección $\left({\phi }_{N,x}\right)$ es ilimitada en $C(𝕋{)}^{\ast },$ el dual de $C(𝕋).$ Por lo tanto, según el principio de acotación uniforme, para cualquier $x\in 𝕋,$ el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en $x$ es denso en $C(𝕋).$

Se puede concluir más aplicando el principio de condensación de singularidades. Sea $\left(x_m\right)$ una secuencia densa en $𝕋.$ Defínase ${\phi }_{N,x_m}$ de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cada $x_m$ es denso en $C(𝕋)$ (sin embargo, la serie de Fourier de una función continua $f$ converge a $f(x)$ para casi cada $x\in 𝕋,$ por el teorema de Carleson).

Generalizaciones

En un espacio vectorial topológico (EVT) $X$, el término "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann. Si $X$ también es normado o seminormado, supóngase que con (semi)norma $\Vert \cdot \Vert$, entonces un subconjunto $B$ está acotado (según von Neumann) si y solo si es una Plantilla:Enf, que por definición significa que $\underset{b\in B}{\sup }\Vert b\Vert <\mathrm{\infty }.$

Espacios barrilados

Los intentos de encontrar clases de espacios localmente convexos en las que se cumpla el principio de acotación uniforme finalmente condujeron a los espacios barrilados. Es decir, el escenario menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barrilado, en el que se cumple la siguiente versión generalizada del teorema Plantilla:Harv:

Acotación uniforme en espacios vectoriales topológicos

Se dice que una familia $ℬ$ de subconjuntos de un espacio vectorial topológico $Y$ es Plantilla:Enf en $Y$, si existe algún subconjunto acotado $D$ de $Y$ tal que

$B\subseteq D\text{ para cada }B\in ℬ,$

lo que sucede si y solo si

$\bigcup _{B\in ℬ}B$

es un subconjunto acotado de $Y$. Si $Y$ es un espacio vectorial normado, entonces esto sucede si y solo si existe algún $M\ge 0$ real tal que $\underset{\stackrel{b\in B}{B\in ℬ}}{\sup }\Vert b\Vert \le M.$ En particular, si $H$ es una familia de aplicaciones de $X$ a $Y$ y si $C\subseteq X$, entonces la familia $\{h(C):h\in H\}$ está uniformemente acotada en $Y$ si y solo si existe algún subconjunto acotado $D$ de $Y$ tal que $h(C)\subseteq D\text{ para todo }h\in H,$ lo que ocurre si y solo si $H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)$ es un subconjunto acotado de $Y.$

Generalizaciones que involucran subconjuntos no exiguos

Aunque la noción de un conjunto no exiguo se utiliza en la siguiente versión del principio acotado uniforme, se supone que el dominio $X$ Plantilla:Enf es un espacio de Baire.

Cada subespacio vectorial propio de un EVT $X$ tiene un interior vacío en $X$.Plantilla:Sfn Entonces, en particular, cada subespacio vectorial propio que está cerrado no es denso en ninguna parte en $X$, y por lo tanto, de la primera categoría (exiguo) en $X$ (y lo mismo también es cierto para todos sus subconjuntos). En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un EVT $X$ que sea de segunda categoría (no exiguo) en $X$ debe ser un subconjunto denso de $X$ (ya que de lo contrario, su cierre en $X$ sería un subespacio vectorial propio cerrado de $X$, y por lo tanto, de primera categoría).Plantilla:Sfn

Secuencias de aplicaciones lineales continuas

El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de aplicaciones lineales continuas sea en sí mismo continuo.

Si además el dominio es un espacio de Banach y el codominio es un espacio vectorial normado, entonces $\Vert h\Vert \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\Vert h_n\Vert <\mathrm{\infty }.$

Dominio metrizable completo

Plantilla:Harvtxt demostró una forma más débil de este teorema con un espacio de Fréchet en lugar de los habituales espacios de Banach.

Véase también

• Espacio barrilado
• Teorema de Ursescu

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro.
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro.
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Cita libro.
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro