Principio del máximo

En los campos matemáticos de las ecuaciones en derivadas parciales y del análisis geométrico, se conoce como principio del máximo a cualquiera de una colección de resultados y técnicas de importancia fundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales elípticas y parabólicas.

En el caso más simple, considérese una función de dos variables Plantilla:Math tal que

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0.$

El principio del máximo débil, en este contexto, dice que para cualquier subconjunto precompacto abierto Plantilla:Mvar del dominio de Plantilla:Mvar, el máximo de Plantilla:Mvar en el cierre de Plantilla:Mvar se alcanza en el límite de Plantilla:Mvar. Por su parte, el principio del máximo fuerte dice que, a menos que Plantilla:Mvar sea una función constante, el máximo tampoco puede alcanzarse en ningún lugar del propio Plantilla:Mvar.

Tales afirmaciones dan una imagen cualitativa sorprendente de las soluciones de la ecuación diferencial dada. Esta imagen cualitativa puede extenderse a muchos tipos de ecuaciones diferenciales. En numerosas situaciones, también se pueden utilizar dichos principios máximos para sacar conclusiones cuantitativas precisas sobre soluciones de ecuaciones diferenciales, como el control sobre el tamaño de su gradiente. No existe un principio máximo único o más general que se aplique a todas las situaciones a la vez.

En el campo de la optimización convexa, existe una declaración análoga que afirma que el máximo de una función convexa en un conjunto compacto convexo se alcanza en la frontera.

Enfoque intuitivo

Formulación parcial del principio del máximo fuerte

Aquí se considera el caso más simple, aunque el mismo razonamiento puede extenderse a escenarios más generales. Sea Plantilla:Mvar un subconjunto abierto del espacio euclídeo y sea Plantilla:Mvar una función Plantilla:Math en Plantilla:Mvar tal que

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^i\partial x^j}=0$

donde para cada Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar entre 1 y Plantilla:Mvar, Plantilla:Math es una función en Plantilla:Mvar con Plantilla:Math.

Ahora, se fija alguna opción de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Según el teorema de descomposición espectral del álgebra lineal, todos los valores propios de la matriz Plantilla:Math son reales y existe una base ortonormal de Plantilla:Math que consta de vectores propios. Denótense los valores propios por Plantilla:Math y los vectores propios correspondientes por Plantilla:Math, para Plantilla:Mvar de 1 a Plantilla:Mvar. Entonces, la ecuación diferencial, en el punto Plantilla:Mvar, se puede reformular como

$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\frac{d^2}{d{t}^2}|}_{t=0}(u(x+t{v}_i))=0.$

La esencia del principio del máximo es la simple observación de que si cada valor propio es positivo (lo que equivale a una cierta formulación de elipticidad de la ecuación diferencial), entonces la ecuación anterior impone un cierto equilibrio de las segundas derivadas direccionales de la solución. En particular, si una de las segundas derivadas direccionales es negativa, entonces la otra debe ser positiva. En un punto hipotético donde Plantilla:Mvar se maximiza, todas las segundas derivadas direccionales son automáticamente no positivas, y el equilibrio representado por la ecuación anterior requiere que todas las segundas derivadas direccionales sean idénticamente cero.

Se podría argumentar que este razonamiento elemental representa una formulación infinitesimal del principio del máximo fuerte, que establece que, bajo algunos supuestos adicionales (como la continuidad de Plantilla:Mvar), Plantilla:Mvar debe ser constante si hay un punto de Plantilla:Mvar donde Plantilla:Mvar está maximizado.

Téngase en cuenta que el razonamiento anterior no se ve afectado si se considera la ecuación diferencial parcial más general

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^i\partial x^j}+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial u}{\partial x^i}=0,$

ya que el término agregado es automáticamente cero en cualquier punto máximo hipotético. El razonamiento tampoco se ve afectado si se considera la condición más general

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^i\partial x^j}+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\ge 0,$

en el que incluso se puede notar el fenómeno adicional de tener una contradicción absoluta si hay una desigualdad estricta (Plantilla:Mvar en lugar de Plantilla:Mvar) en esta condición en el punto máximo hipotético. Este fenómeno es importante en la prueba formal del principio clásico del máximo débil.

Inaplicabilidad del principio del máximo fuerte

Sin embargo, el razonamiento anterior ya no se aplica si se considera la condición

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^i\partial x^j}+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\le 0,$

ya que ahora la condición de equilibrio, tal como se evalúa en un punto máximo hipotético de Plantilla:Mvar, solo dice que un promedio ponderado de cantidades manifiestamente no positivas no es positivo. Esto es trivialmente cierto, por lo que no se puede sacar de ello ninguna conclusión que no sea trivial, lo que se refleja en numerosos ejemplos concretos, como el hecho de que

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}({-x}^2-y^2)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}({-x}^2-y^2)\le 0,$

y en cualquier región abierta que contenga el origen, la función Plantilla:Math ciertamente tiene un máximo.

Principio clásico del máximo débil para la ecuaciones en derivadas parciales lineales elípticas

Idea esencial

Sea Plantilla:Mvar un subconjunto abierto del espacio euclídeo. Si una función suave $u:M\to ℝ$ se maximiza en un punto Plantilla:Mvar, entonces automáticamente se tiene que:

• $(du)(p)=0$
• $({\mathrm{\nabla }}^{2}u)(p)\le 0,$ como desigualdad matricial.

Se puede ver una ecuación diferencial parcial como la imposición de una relación algebraica entre las distintas derivadas de una función. Entonces, si Plantilla:Mvar es la solución de una ecuación diferencial parcial, entonces es posible que las condiciones anteriores sobre la primera y la segunda derivadas de Plantilla:Mvar formen una contradicción con esta relación algebraica. Esta es la esencia del principio del máximo. Claramente, la aplicabilidad de esta idea depende en gran medida de la ecuación diferencial parcial particular en cuestión.

Por ejemplo, si Plantilla:Mvar resuelve la ecuación diferencial

$\mathrm{\Delta }u=|du{|}^2+2,$

entonces es claramente imposible tener $\mathrm{\Delta }u\le 0$ y $du=0$ en cualquier punto entero del dominio. Entonces, siguiendo la observación anterior, es imposible que Plantilla:Mvar tome un valor máximo. Si, en cambio, Plantilla:Mvar resolviera la ecuación diferencial $\mathrm{\Delta }u=|du{|}^2$ entonces no se tendría tal contradicción, y el análisis dado hasta ahora no implica nada interesante. Si Plantilla:Mvar resolviera la ecuación diferencial $\mathrm{\Delta }u=|du{|}^2-2,$, entonces el mismo análisis mostraría que Plantilla:Mvar no puede tomar un valor mínimo.

La posibilidad de tal análisis ni siquiera se limita a ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, si $u:M\to ℝ$ es una función tal que

$\mathrm{\Delta }u-|du{|}^4=\underset{M}{\int }{e}^{u(x)}dx,$

que es una especie de ecuación diferencial no local, entonces, la positividad estricta automática del lado derecho de la ecuación muestra, mediante el mismo análisis anterior, que Plantilla:Mvar no puede alcanzar un valor máximo.

Existen muchos métodos para ampliar la aplicabilidad de este tipo de análisis de diversas maneras. Por ejemplo, si Plantilla:Mvar es una función armónica, entonces el tipo de contradicción anterior no se produce directamente, ya que la existencia de un punto Plantilla:Mvar donde $\mathrm{\Delta }u(p)\le 0$ no contradice el requisito $\mathrm{\Delta }u=0$ en todas partes. Sin embargo, se podría considerar, para un número real arbitrario Plantilla:Mvar, la función Plantilla:Math definida por

$u_s(x)=u(x)+s{e}^{x_1}.$

Es sencillo ver que

$\mathrm{\Delta }{u}_s=s{e}^{x_1}.$

Según el análisis anterior, si $s>0$, entonces Plantilla:Math no puede alcanzar un valor máximo. Se podría considerar el límite a Plantilla:Mvar como 0 para concluir que Plantilla:Mvar tampoco puede alcanzar un valor máximo. Sin embargo, es posible que el límite puntual de una secuencia de funciones sin máximos tenga un máximo. No obstante, si Plantilla:Mvar tiene un límite tal que Plantilla:Mvar junto con su límite es compacto, entonces suponiendo que Plantilla:Mvar se puede extender continuamente hasta el límite, se deduce inmediatamente que tanto Plantilla:Mvar como Plantilla:Math alcanzan un valor máximo en $M\cup \partial M.$. Ya que se ha demostrado que Plantilla:Math, como función en Plantilla:Mvar, no tiene un máximo, se deduce que el punto máximo de Plantilla:Math, para cualquier Plantilla:Mvar, está en $\partial M.$. Por la compacidad secuencial de $\partial M,$ se deduce que el máximo de Plantilla:Mvar se alcanza en $\partial M.$. Este es el principio del máximo débil para funciones armónicas. Esto, por sí solo, no descarta la posibilidad de que el máximo de Plantilla:Mvar también se alcance en algún lugar de Plantilla:Mvar. Ese es el contenido del principio del máximo fuerte, que requiere un análisis más profundo.

El uso de la función específica $e^{x_1}$ anterior no es imprescindible. Lo único que importaba era disponer de una función que se extendiera continuamente hasta el límite y cuyo laplaciano fuera estrictamente positivo. En este sentido, se podría haber usado, por ejemplo,

$u_s(x)=u(x)+s|x{|}^2$

con el mismo efecto.

El principio del máximo fuerte clásico para EDP lineales elípticas

Resumen de la demostración

Sea Plantilla:Mvar un subconjunto abierto del espacio euclídeo. Sea $u:M\to ℝ$ una función dos veces diferenciable que alcanza su valor máximo Plantilla:Mvar. Supóngase que

$a_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^i\partial x^j}+b_i\frac{\partial u}{\partial x^i}\ge 0.$

Considérese ahora que se puede encontrar (o probar la existencia de):

• Un subconjunto compacto Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, con interior no vacío, tal que Plantilla:Math para todo Plantilla:Mvar en el interior de Plantilla:Mvar, y tal que existe Plantilla:Math en el límite de Plantilla:Mvar con Plantilla:Math.
• Una función continua $h:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ que es dos veces diferenciable en el interior de Plantilla:Mvar y con

$a_{ij}\frac{{\partial }^{2}h}{\partial x^i\partial x^j}+b_i\frac{\partial h}{\partial x^i}\ge 0,$

y tal que Plantilla:Math en el límite de Plantilla:Mvar con Plantilla:Math

Entonces, Plantilla:Math en Plantilla:Mvar con Plantilla:Math en el límite de Plantilla:Mvar. Según el principio del máximo débil, se tiene que Plantilla:Math en Plantilla:Mvar. Esto se puede reorganizar, de manera que

$-\frac{u(x)-u(x_0)}{|x-x_0|}\ge \frac{h(x)-h(x_0)}{|x-x_0|}$

para todos los Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Si se puede elegir Plantilla:Mvar de modo que el lado derecho tenga una naturaleza manifiestamente positiva, entonces esto proporcionará una contradicción con el hecho de que Plantilla:Math es un punto máximo de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar, de modo que su gradiente debe desaparecer.

Demostración

A continuación se desarrolla el procedimiento resumido en el punto anterior. Elíjase Plantilla:Mvar para que sea un anillo esférico; se selecciona su centro Plantilla:Math para que sea un punto más cercano al conjunto cerrado Plantilla:Math que al conjunto cerrado Plantilla:Math, y se selecciona el radio exterior Plantilla:Mvar para que sea la distancia desde este centro a Plantilla:Math. Sea Plantilla:Math un punto en este último conjunto que cumple la condición de distancia. El radio interior Plantilla:Mvar es arbitrario. Ahora, se define

$h(x)=\epsilon (e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}{|}^2}-e^{-\alpha R^2}).$

Entonces, el límite de Plantilla:Mvar consta de dos esferas. En la esfera exterior, se tiene Plantilla:Math, y debido a la selección de Plantilla:Mvar, se cumple que Plantilla:Math está en esta esfera, por lo que Plantilla:Math se mantiene en esta parte del límite, junto con el requisito de que Plantilla:Math. En la esfera interior, se tiene que Plantilla:Math. Debido a la continuidad de Plantilla:Mvar y a la compacidad de la esfera interior, se puede seleccionar Plantilla:Math de manera que Plantilla:Math. Dado que Plantilla:Mvar es constante en esta esfera interior, se puede seleccionar Plantilla:Math de manera que Plantilla:Math en la esfera interior y, por lo tanto, en todo el límite de Plantilla:Mvar.

El cálculo directo muestra que

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}h}{\partial x^i\partial x^j}+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial h}{\partial x^i}=\epsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}{|}^2}(4\alpha \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(x)(x^i-x_{\text{c}}^i\left)\right(x^j-x_{\text{c}}^j)-2\sum _{i=1}^n{a}_{ii}-2\sum _{i=1}^n{b}_i(x^i-x_{\text{c}}^i\left)\right).$

Hay varias condiciones bajo las cuales se puede garantizar que el lado derecho de la ecuación no sea negativo (véase el enunciado del teorema a continuación).

Por último, téngase en cuenta que la derivada direccional de Plantilla:Mvar en Plantilla:Math en la línea radial del anillo que apunta hacia adentro es estrictamente positiva. Como se describe en el resumen anterior, esto asegurará que una derivada direccional de Plantilla:Mvar en Plantilla:Math sea distinta de cero, en contradicción con el hecho de que Plantilla:Math sea un punto máximo de Plantilla:Mvar en el conjunto abierto Plantilla:Mvar.

Enunciado del teorema

El siguiente es el enunciado del teorema en los libros de Morrey y Smoller, siguiendo el enunciado original de Hopf (1927):

El objetivo del supuesto de continuidad es que las funciones continuas están acotadas en conjuntos compactos, siendo el conjunto compacto relevante aquí el anillo esférico que aparece en la prueba. Además, por el mismo principio, existe un número Plantilla:Mvar tal que para todos los Plantilla:Mvar en el anillo, la matriz Plantilla:Math tiene todos los valores propios mayores o iguales a Plantilla:Mvar. Entonces, se considera que Plantilla:Mvar, tal como aparece en la demostración, es grande en relación con estos límites. El libro de Evans tiene una formulación ligeramente más débil, en la que se supone que hay un número positivo Plantilla:Mvar que es un límite inferior de los valores propios de Plantilla:Math para todos los Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar.

Estos supuestos de continuidad claramente no son los más generales posibles para que la prueba funcione. Por ejemplo, lo siguiente es el enunciado del teorema de Gilbarg y Trudinger, siguiendo la misma demostración:

No se pueden extender ingenuamente estas afirmaciones a la ecuación elíptica lineal general de segundo orden, como ya se vio en el caso unidimensional. Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria Plantilla:Math + 2y = 0}} tiene soluciones sinusoidales, que ciertamente tienen máximos interiores. Esto se extiende al caso de dimensiones superiores, donde a menudo se tienen soluciones a las ecuaciones de función propia Plantilla:Math que tienen máximos interiores. El signo de c es relevante, como también se ve en el caso unidimensional. Así, por ejemplo, las soluciones de Plantilla:Math son exponenciales y el carácter de los máximos de tales funciones es bastante diferente del de las funciones sinusoidales.

Véase también

• Principio del módulo máximo
• Principio del máximo de Hopf

Bibliografía

Artículos de investigación

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Libros de texto

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