Problema de Lambert

En mecánica celeste, el problema de Lambert se refiere a la determinación de una órbita a partir de dos vectores de posición y el lapso de viaje entre ambos. Fue planteado en el Plantilla:Siglo por el matemático alemán Johann Heinrich Lambert y resuelto formalmente con demostración matemática por Joseph-Louis Lagrange. Tiene aplicaciones importantes en las áreas del encuentro, apuntado, orientación y determinación preliminar de órbitas de naves espaciales.

Supóngase que se observa que un cuerpo bajo la influencia de una fuerza gravitacional central, que viaja desde un punto P1 siguiendo una trayectoria cónica a un punto P2 en un tiempo T. La duración del vuelo está relacionada con otras variables por el teorema de Lambert, que dice:

Dicho de otra manera, el problema de Lambert es el problema de condición de frontera para la ecuación diferencial

$\ddot{\overline{r}}=-\mu \cdot \frac{\hat{r}}{r^2}$

del problema de los dos cuerpos cuando la masa de uno de los cuerpos es infinitesimal; este subconjunto del problema de los dos cuerpos es conocido como órbita de Kepler.

La formulación precisa del problema de Lambert es la siguiente:

Dados dos tiempos diferentes $t_1,t_2$ y dos vectores de posición ${\overline{r}}_1=r_1{\hat{r}}_1,{\overline{r}}_2=r_2{\hat{r}}_2$,

encuéntrese la solución $\overline{r}(t)$ que satisface la ecuación diferencial por la que

$\overline{r}(t_1)={\overline{r}}_1$

$\overline{r}(t_2)={\overline{r}}_2.$

Análisis geométrico inicial

Figura 1: $F_1$ es el centro de atracción, $P_1$ es el punto que corresponde al vector ${\overline{r}}_1$, y $P_2$ es el punto que corresponde al vector ${\overline{r}}_2$

Figura 2: Hipérbola con los puntos $P_1$y $P_2$en el foco que pasa a través de $F_1$

Figura 3: Ellipse con los puntos $F_1$ y $F_2$ en los focos que pasa por $P_1$y $P_2$

Los tres puntos

$F_1$, el centro de atracción,

$P_1$, el punto que corresponde al vector ${\overline{r}}_1$

$P_2$, el punto que corresponde al vector ${\overline{r}}_2$

forman un triángulo en el plano definido por los vectores ${\overline{r}}_1$y ${\overline{r}}_2$ como se muestra en la figura 1. La distancia entre los puntos $P_1$ y $P_2$ es $2d$, la distancia entre los puntos $P_1$ y $F_1$ es $r_1=r_m-A$ y la distancia entre los puntos $P_2$ y $F_1$ es $r_2=r_m+A$. El valor de $A$ es positivo o negativo dependiendo de cuál de los puntos $P_1$ y $P_2$ está más alejado del punto $F_1$. El problema geométrico a solucionar consiste en encontrar todas las elipses que pasan por los puntos $P_1$y $P_2$ y tienen un foco en el punto $F_1$.

Los puntos $F_1$, $P_1$ y $P_2$ definen una hipérbola que pasa por el punto $F_1$ con foco en los puntos $P_1$ y $P_2$. El punto $F_1$ está en la rama izquierda o derecha de la hipérbola dependiendo del signo de $A$. El semieje mayor de esta hipérbola es $|A|$ y la excentricidad $E$ es $\frac{d}{|A|}$. Esta hipérbola está ilustrada en la figura 2.

Su ecuación relativa al sistema de coordenada canónico habitual definido por los ejes mayor y menor de la hipérbola es

$\frac{x^2}{A^2}-\frac{y^2}{B^2}=1(1)$

con

$B=|A|\sqrt{E^2-1}=\sqrt{d^2-A^2}(2)$

Para cualquier punto en la misma rama de la hipérbola, como $F_1$, la diferencia entre las distancias $r_2$ al punto $P_2$ y $r_1$al punto $P_1$ es

$r_2-r_1=2A(3)$

Para cualquier punto $F_2$ en la otra rama de la hipérbola, la relación correspondiente es

$s_1-s_2=2A(4)$

es decir

$r_1+s_1=r_2+s_2(5)$

Pero esto significa que los puntos $P_1$ y $P_2$se encuentran ambos en la elipse que tiene los puntos focales $F_1$y $F_2$ y el semieje mayor

$a=\frac{r_1+s_1}{2}=\frac{r_2+s_2}{2}(6)$

La elipse correspondiente a un punto $F_2$ seleccionado arbitrariamente es mostrada en la figura 3.

Solución para una órbita de transferencia elíptica supuesta

Primero hay que separar los casos según el polo orbital esté en la dirección ${\overline{r}}_1\times {\overline{r}}_2$ o en la dirección $-{\overline{r}}_1\times {\overline{r}}_2$. En el primer caso el ángulo de transferencia $\alpha$ para el primer paso a través de ${\overline{r}}_2$ será en el intervalo $0<\alpha <180^{\circ }$ y en el segundo caso será en el intervalo $180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$. A partir de ahí $\overline{r}(t)$ continuará pasando a través de ${\overline{r}}_2$ en cada revolución orbital.

En el caso de que ${\overline{r}}_1\times {\overline{r}}_2$ sea cero, entonces ${\overline{r}}_1$ y ${\overline{r}}_2$ están situados en direcciones opuestas, todos los planos orbitales que contienen la línea correspondiente son igualmente adecuados y el ángulo de transferencia $\alpha$ para el primer paso por ${\overline{r}}_2$ será $180^{\circ }$.

Para cualquier $\alpha$ con$0<\alpha <\mathrm{\infty }$ el triángulo formado por $P_1$, $P_2$ y $F_1$ es como en la figura 1, con

$d=\frac{\sqrt{{r_1}^2+{r_2}^2-2r_1{r}_2\cos \alpha }}{2}(7)$

Y el semieje mayor (con signo) de la hipérbola discutida anteriormente es

$A=\frac{r_2-r_1}{2}(8)$

La excentricidad (con signo) para la hipérbola es

$E=\frac{d}{A}(9)$

Y el semieje menor es

$B=|A|\sqrt{E^2-1}=\sqrt{d^2-A^2}(10)$

Las coordenadas del punto $F_1$ relativas al sistema de coordenadas canónico para la hipérbola es (teniendo en cuenta que $E$ tiene el signo de $r_2-r_1$)

$x_0=-\frac{r_m}{E}(11)$

$y_0=B\sqrt{{\left(\frac{x_0}{A}\right)}^2-1}(12)$

donde

$r_m=\frac{r_2+r_1}{2}(13)$

Utilizando la coordenada y del punto $F_2$ en la otra rama de la hipérbola como parámetro libre, la coordenada x de $F_2$ es (nótese que $A$ tiene el signo de $r_2-r_1$)

$x=A\sqrt{1+{\left(\frac{y}{B}\right)}^2}(14)$

El semieje mayor de la elipse que pasa por los puntos $P_1$ y $P_2$ teniendo como focos $F_1$ y $F_2$ es

$a=\frac{r_1+s_1}{2}=\frac{r_2+s_2}{2}=\frac{r_m+Ex}{2}(15)$

La distancia entre los focos es

$\sqrt{{(x_0-x)}^2+{(y_0-y)}^2}(16)$

Y la excentricidad es, consiguientemente

$e=\frac{\sqrt{{(x_0-x)}^2+{(y_0-y)}^2}}{2a}(17)$

La anomalía verdadera ${\theta }_1$ en el punto $P_1$ depende de la dirección de movimiento, es decir, si $\sin \alpha$ es positivo o negativo. En ambos casos se tiene que

$\cos {\theta }_1=-\frac{(x_0+d)f_x+y_0{f}_y}{r_1}(18)$

donde

$f_x=\frac{x_0-x}{\sqrt{{(x_0-x)}^2+{(y_0-y)}^2}}(19)$

$f_y=\frac{y_0-y}{\sqrt{{(x_0-x)}^2+{(y_0-y)}^2}}(20)$

es el vector unidad en la dirección de $F_2$ a $F_1$ expresado en las coordenadas canónicas.

Si $\sin \alpha$ es positivo entonces

$\sin {\theta }_1=\frac{(x_0+d)f_y-y_0{f}_x}{r_1}(21)$

Si $\sin \alpha$ es negativo entonces

$\sin {\theta }_1=-\frac{(x_0+d)f_y-y_0{f}_x}{r_1}(22)$

Con

• Semieje mayor
• Excentricidad
• Anomalía verdadera inicial

siendo funciones conocidas del parámetro y, el aumento del tiempo para la anomalía verdadera cuando crece $\alpha$ siendo también una función conocida de y. Si $t_2-t_1$ está en el rango que puede ser obtenido con una órbita elíptica de Kepler el valor correspondiente a, y puede ser encontrado utilizando un algoritmo iterativo.

En el caso especial de que $r_1=r_2$ (o muy cercano) $A=0$ y la hipérbola con dos ramas degenera en una única línea ortogonal a la recta entre $P_1$ y $P_2$ con la ecuación

$x=0(1^{\prime })$

Las ecuaciones (11) y (12) son entonces reemplazadas por

$x_0=0(11^{\prime })$

$y_0=\sqrt{{r_m}^2-d^2}(12^{\prime })$

(14) es reemplazada por

$x=0(14^{\prime })$

y (15) es reemplazada por

$a=\frac{r_m+\sqrt{d^2+y^2}}{2}(15^{\prime })$

Ejemplo numérico

Figura 4: El tiempo de transferencia con  : r1 = 10000 km : r2 = 16000 km : α = 120° como función de y cuándo y varía de −20000 km a 50000 km. El tiempo de transferencia decrece de 20741 segundos con y = −20000 km a 2856 segundos con y = 50000 km. Para cualquier valor entre 2856 segundos y 20741 segundos el problema del Lambert puede ser solucionado utilizando un valor de y entre −20000 km y 50000 km

Asúmanse los valores siguientes para una órbita de Kepler centrada en la Tierra:

• r1 = 10000 km
• r2 = 16000 km
• α = 100°

Estos son los valores numéricos que corresponden a las figuras 1, 2, y 3.

Seleccionando el parámetro y como 30.000 km se consigue un tiempo de transferencia de 3072 segundos asumiendo la constante de gravitación como $\mu$= 398603 kmPlantilla:Exp/sPlantilla:Exp. Los elementos orbitales correspondientes son

• Semieje mayor = 23.001 km
• Excentricidad = 0,566613
• Anomalía verdadera en tiempo t1 = −7,577°
• Anomalía verdadera en tiempo t2 = 92,423°

Este valor de y corresponde a la figura 3.

Con

• r1 = 10.000 km
• r2 = 16.000 km
• α = 260°

se obtiene la misma elipse con la dirección opuesta de movimiento, es decir

• Anomalía verdadera en tiempo t1 = 7,577°
• Anomalía verdadera en tiempo t2 = 267,577° = 360° − 92,423°

Y un tiempo de transferencia de 31.645 segundos.

Las componentes radial y tangencial de la velocidad entonces pueden ser calculadas con las fórmulas (véase el artículo sobre la órbita de Kepler)

$V_r=\sqrt{\frac{\mu }{p}}\cdot e\cdot \sin \theta$

$V_t=\sqrt{\frac{\mu }{p}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta ).$

El tiempo de transferencia de P1 a P2 para otros valores de y se muestra en la figura 4.

Aplicaciones prácticas

El uso más típico de este algoritmo para solucionar el problema de Lambert es seguramente el diseño de misiones interplanetarias. Una nave que viaja de la Tierra a, por ejemplo, Marte, puede en primera aproximación considerarse que sigue una órbita de Kepler elíptica heliocéntrica desde la posición de la Tierra en el tiempo de su lanzamiento a la posición de Marte en el tiempo de llegada. Comparando los vectores de velocidad inicial y final de esta órbita de Kepler heliocéntrica con los vectores de velocidad correspondientes para la Tierra y Marte, se puede obtener una estimación bastante buena de la energía de lanzamiento requerida y de la de las maniobras necesarias para llegar a Marte. Esta aproximación es a menudo utilizada conjuntamente con la aproximación por secciones cónicas.

Es también un método utilizado para la determinación de órbitas. Si dos posiciones de una aeronave en diferentes momentos se conocen con buena precisión (por ejemplo, mediante GPS) se puede deducir la órbita completa con este algoritmo, obteniéndose una interpolación y una extrapolación de esta dos posiciones fijas.

Parametrización de las trayectorias de transferencia

Se pueden parametrizar todas las posibles órbitas que pasan a través de los dos puntos ${\overrightarrow{r}}_1$ y ${\overrightarrow{r}}_2$ utilizando un único parámetro $\gamma$.

El semieje menor $p$ está dado por:$p=\frac{(|{\overrightarrow{r}}_1|+|{\overrightarrow{r}}_2|)(|{\overrightarrow{r}}_1||{\overrightarrow{r}}_2|-{\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{r}}_2+\gamma \hat{N}\cdot ({\overrightarrow{r}}_1\times {\overrightarrow{r}}_2))}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1{|}^2}$

El vector de excentricidad $\overrightarrow{e}$ está dado por:$\overrightarrow{e}=\frac{((|{\overrightarrow{r}}_1|-|{\overrightarrow{r}}_2|)({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1)-\gamma (r_1+r_2)\hat{N}\times ({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1))}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1{|}^2}$

donde $\hat{N}=\pm \frac{{\overrightarrow{r}}_1\times {\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1\times {\overrightarrow{r}}_2|}$ es la normal a la órbita. Existen dos valores especiales de $\gamma$

El valor extremo $\gamma$ :${\gamma }_0=-\left(\frac{|{\overrightarrow{r}}_1||{\overrightarrow{r}}_2|-{\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{r}}_2}{\hat{N}\cdot ({\overrightarrow{r}}_1\times {\overrightarrow{r}}_2)}\right)$

El $\gamma$ que produce una parábola $:{\gamma }_p=\frac{\sqrt{2(|{\overrightarrow{r}}_1||{\overrightarrow{r}}_2|-{\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{r}}_2)}}{|{\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_2|}$

Código abierto

• De MATLAB central
• PyKEP Una biblioteca de Python para mecánica de vuelo espacial y astrodinámica (contiene un programa que resuelve el problema de Lambert, desarrollado en C++ y exportado a Python vía boost Python)

Enlaces externos

• Lambert's theorem through an affine lens. Paper de Alain Albouy que contiene una discusión moderna sobre el problema de Lambert y una linea de tiempo histórica. Plantilla:Arxiv
• Revisiting Lambert's Problem. Paper de Dario Izzo que contiene un algoritmo para proporcionar un estimado preciso para el método Householder iterativo que es tan preciso como el Procedimiento de Gooding mientras que computacionalmente es más eficiente. Plantilla:Doi