Producto de Cantor

Un producto de Cantor es una descomposición única en forma de producto infinito de números racionales, que existe para cualquier número real $r>1$, de la forma:

donde los números $q_k\in \mathbb{N}$ son números naturales positivos y donde, además, $q_{k+1}\ge q_k^2$

Enunciado del teorema de Cantor

El teorema de Cantor sobre productos cantorianos infinitos puede resumirse de la siguiente forma:

Sea ${\alpha }_0>1$ un número real. Entonces se aplica lo siguiente:

(I) Para ${\alpha }_0$ una y solo una sucesión de números naturales $(q_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ se puede determinar de tal manera que ${\alpha }_0$ es una representación del producto de la forma

${\alpha }_0=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{q_n})$

donde en esta sucesión, para cada índice $n$ la desigualdad $q_{n+1}\ge {q_n}^2$ y donde sólo aparece un número finito de elementos de secuencia con $q_n=1$.

(II) Todo producto cantoriano, es decir, todo producto infinito de la forma descrita en (I), es convergente.

(III) ${\alpha }_0$ es un número racional si y solo si en la representación del producto de Cantor según (I) de un índice $N$ para todos los índices posteriores $n\ge N$ siempre la identidad $q_{n+1}={q_n}^2$.

Propiedades

Se cumple que para $r\in (2^{k-1},2^k]$ entonces $q_1=q_2=\dots =q_k=1$ y, obviamente el resto de componentes cumplirán que $q_{k+1}<q_{k+2}<\dots$. Nótese que a partir del primer valor para el cual $q_{k+1}>1$ el resto de enteros crecen muy rápido y por tanto la convergencia de la producto infinito se acelera.

Ejemplos

$\sqrt{2}=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{17})(1+\frac{1}{577})(1+\frac{1}{665857})\dots$

$\sqrt{3}=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{7})(1+\frac{1}{97})(1+\frac{1}{18817})\dots$

Más en general se tiene $\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}=(1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2})(1+\frac{1}{a_3})\dots$ con $a_1=k$ y $a_{k+1}=2a_k^2-1$

Algoritmo

La sucesión de números $(q_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ puede determinarse inductivamente partiendo de ${\alpha }_0=r>1$ tal como sigue:

$q_0=\lfloor \frac{{\alpha }_0}{{\alpha }_0-1}\rfloor$ y ${\alpha }_n=\frac{{\alpha }_{n-1}}{1+\frac{1}{q_{n-1}}}{q}_n=\lfloor \frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_n-1}\rfloor$ para $n\in \mathbb{N}$

Demostración

La demostración se puede obtener a partir de la siguiente identidad debida a Euler: Plantilla:Ecuación

Referencias

Bibliografía

• Halbeisen, L. J. (2012). Combinatorial set theory (Vol. 121). London: Springer.
• Lacroix, Y. (1993). "Metric properties of generalized Cantor products". Acta Arithmetica, 63(1), 61-77.
• Amrik Singh Nimbran (2016). "Mathematics behind $\sqrt{2}$ in Sulba-Sutras and Cantor Product".