Proyección vectorial

Proyección de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math (a₁), y resto de Plantilla:Math respecto a Plantilla:Math (a₂)

Cuando Plantilla:Math, Plantilla:Math tiene una dirección opuesta con respecto a Plantilla:Math

La proyección vectorial (también conocida como componente vectorial o resolución vectorial) de un vector Plantilla:Math sobre (o respecto a) un vector Plantilla:Math distinto de cero, a veces denotado como ${\mathrm{proj}}_{𝐛}𝐚$, es el operador de proyección de Plantilla:Math sobre una recta paralela a Plantilla:Math. Es un vector paralelo a Plantilla:Math, formulado como ${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}$, donde $a_1$ es un escalar, llamado proyección escalar de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math, y Plantilla:Math es el vector unitario en la dirección de Plantilla:Math.

A su vez, la proyección escalar se define como:

$a_1=\Vert 𝐚\Vert \cos \theta =𝐚\cdot \widehat{𝐛}$

donde el operador ⋅ denota un producto escalar, ‖a‖ es la longitud de Plantilla:Math y θ es el ángulo entre Plantilla:Math y Plantilla:Math.

La proyección escalar es igual en valor absoluto a la longitud de la proyección vectorial, con un signo menos si la dirección de la proyección es opuesta a la dirección de Plantilla:Math, es decir, si los dos vectores se encuentran en semiespacios diferentes, o si las direcciones de ambos se encuentran en diferentes hemisferios.

La proyección vectorial se puede reescribir en términos únicamente de los vectores de entrada como:

${𝐚}_1=(𝐚\cdot \widehat{𝐛})\widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }\frac{𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{{\Vert 𝐛\Vert }^2}𝐛=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

El componente vectorial o vector resuelto de Plantilla:Math perpendicular a Plantilla:Math, a veces también llamado vector resto (traducción aproximada del término inglés "vector rejection") de Plantilla:Math de Plantilla:Math (denotado ${\mathrm{oproj}}_{𝐛}𝐚$), es la proyección ortogonal de Plantilla:Math sobre el plano (o, en general, hiperplano) ortogonal a Plantilla:Math. Como tanto la proyección Plantilla:Math como el resto Plantilla:Math de un vector Plantilla:Math son vectores y su suma es igual a Plantilla:Math, esto implica que el resto viene dado por: ${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1.$

Notación

Normalmente, una proyección vectorial se indica en negrita (por ejemplo, Plantilla:Math) y la proyección escalar correspondiente con fuente normal (por ejemplo, a₁). En algunos casos, especialmente en escritura a mano, la proyección vectorial también se indica usando un signo diacrítico encima o debajo de la letra (por ejemplo, ${\overrightarrow{a}}_1$ o a₁). La proyección vectorial de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math y el resto correspondiente a veces se denotan por Plantilla:Math y Plantilla:Math, respectivamente.

Definiciones basadas en el ángulo θ

Proyección escalar

La proyección escalar de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math es un escalar igual a:

$a_1=\Vert 𝐚\Vert \cos \theta ,$

donde θ es el ángulo entre Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Se puede utilizar una proyección escalar como factor de escala para calcular la proyección vectorial correspondiente.

Proyección vectorial

La proyección vectorial de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math es un vector cuya magnitud es la proyección escalar de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math con la misma dirección que Plantilla:Math. Es decir, se define como

${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=(\Vert 𝐚\Vert \cos \theta )\widehat{𝐛}$

donde $a_1$ es la proyección escalar correspondiente, como se definió anteriormente, y $\widehat{𝐛}$ es el vector unitario con la misma dirección que Plantilla:Math:

$\widehat{𝐛}=\frac{𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }$

Resto vectorial

Por definición, el vector resto de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math es:

${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1$

y por lo tanto:

${𝐚}_2=𝐚-(\Vert 𝐚\Vert \cos \theta )\widehat{𝐛}$

Definiciones en términos de a y b

Cuando no se conoce Plantilla:Mvar, el coseno de Plantilla:Mvar se puede calcular en términos de Plantilla:Math y Plantilla:Math, mediante la siguiente propiedad del producto escalar Plantilla:Math

$\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert }=\cos \theta$

Proyección escalar

Plantilla:AP Según la propiedad del producto escalar mencionada anteriormente, la definición de proyección escalar queda como:

$a_1=\Vert 𝐚\Vert \cos \theta =\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }.$

En dos dimensiones, esto se convierte en

$a_1=\frac{{𝐚}_x{𝐛}_x+{𝐚}_y{𝐛}_y}{\Vert 𝐛\Vert }.$

Proyección vectorial

De manera similar, la definición de la proyección vectorial de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math se convierte en:

${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }\frac{𝐛}{\Vert 𝐛\Vert },$

que es equivalente a cualquiera de las dos expresiones siguientes:

${𝐚}_1=(𝐚\cdot \widehat{𝐛})\widehat{𝐛},$

o

${𝐚}_1=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{{\Vert 𝐛\Vert }^2}𝐛=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Resto escalar

En dos dimensiones, el resto escalar es equivalente a la proyección de Plantilla:Math sobre ${𝐛}^{\perp }=\left(\begin{array}{cc}-{𝐛}_y& {𝐛}_x\end{array}\right)$, que es $𝐛=\left(\begin{array}{cc}{𝐛}_x& {𝐛}_y\end{array}\right)$ girado 90° hacia la izquierda. Por eso,

$a_2=\Vert 𝐚\Vert \sin \theta =\frac{𝐚\cdot {𝐛}^{\perp }}{\Vert 𝐛\Vert }=\frac{{𝐚}_y{𝐛}_x-{𝐚}_x{𝐛}_y}{\Vert 𝐛\Vert }.$

Este producto escalar se denomina "producto escalar perpendicular".

Resto vectorial

Por definición,

${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1$

Por eso,

${𝐚}_2=𝐚-\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Propiedades

If 0° ≤ θ ≤ 90°, as in this case, the proyección escalar of Plantilla:Math on Plantilla:Math coincides with the length of the vector projection.

Proyección escalar

La proyección escalar de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math es un escalar que tiene signo negativo si 90 grados < θ ≤ 180 grados. Coincide con la longitud Plantilla:Math de la proyección del vector si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente:

• Plantilla:Math si Plantilla:Math,
• Plantilla:Math si Plantilla:Math,
• Plantilla:Math si Plantilla:Math.

Proyección vectorial

La proyección vectorial de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math es un vector Plantilla:Math que es nulo o paralelo a Plantilla:Math. Más exactamente:

• Plantilla:Math si Plantilla:Math,
• Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen la misma dirección si Plantilla:Math,
• Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen direcciones opuestas si Plantilla:Math.

Resto vectorial

El vector resto de Plantilla:Math en Plantilla:Math es un vector Plantilla:Math que es nulo u ortogonal a Plantilla:Math. Más exactamente:

• Plantilla:Math si Plantilla:Math o Plantilla:Math,
• Plantilla:Math es ortogonal a Plantilla:Math si Plantilla:Math,

Representación matricial

La proyección ortogonal se puede representar mediante una matriz de proyección. Para proyectar un vector sobre el vector unitario Plantilla:Math, sería necesario multiplicarlo por esta matriz de proyección:

$P_{𝐚}=𝐚{𝐚}^{\mathsf{\text{T}}}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_x^2& a_x{a}_y& a_x{a}_z\\ a_x{a}_y& a_y^2& a_y{a}_z\\ a_x{a}_z& a_y{a}_z& a_z^2\end{array}\right]$

Aplicación

La proyección vectorial es una operación importante en el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt de bases en espacios vectoriales. También se utiliza en teorema del eje de separación para detectar si dos formas convexas se cruzan.

Generalizaciones

Dado que las nociones de longitud de un vector y de ángulo entre vectores se pueden generalizar a cualquier espacio prehilbertiano de n dimensiones, esto también es válido para las nociones de proyección ortogonal de un vector, proyección de un vector sobre otro y resto de un vector respecto a otro.

En algunos casos, el producto interno coincide con el producto escalar. Cuando no coinciden, se utiliza el producto interior en lugar del producto escalar en las definiciones formales de proyección y resto. Para un espacio prehilbertiano tridimensional, las nociones de proyección de un vector sobre otro y de resto de un vector respecto a otro pueden generalizarse a las nociones de proyección de un vector sobre un plano y resto de un vector sobre un plano. La proyección de un vector respecto a un plano es su operador de proyección en ese plano. El resto de un vector respecto a un plano es su proyección ortogonal sobre una recta ortogonal al plano dado. Ambos son vectores. El primero es paralelo al plano, y el segundo es ortogonal al plano.

Para un vector y un plano dados, la suma de proyección y resto es igual al vector original. De manera similar, para espacios de productos internos con más de tres dimensiones, las nociones de proyección sobre un vector y de resto respecto a un vector pueden generalizarse a las nociones de proyección sobre un hiperplano y de resto respecto a un hiperplano. En álgebra geométrica, se pueden generalizar aún más a las nociones de proyección y resto de un multivector general hacia/desde cualquier k-lámina invertible.

Véase también

• Proyección escalar
• Notación vectorial

Enlaces externos

• Proyección de un vector sobre un plano