Pseudoespectro

En matemáticas, el pseudoespectro de un operador es un conjunto que contiene el espectro del operador y los valores que son "casi" valores propios. Conocer el pseudoespectro resulta particularmente útil para comprender los operadores no normales y sus funciones propias.

El $ϵ$-pseudoespectro de una matriz $A$ está constituido por todos los valores propios de las matrices $ϵ$-cercanas a $A$:

$${\mathrm{\Lambda }}_{ϵ}(A)=\{\lambda \in ℂ\mid \mathrm{\exists }x\in {ℂ}^n\setminus \{0\},\mathrm{\exists }E\in {ℂ}^{n\times n}:(A+E)x=\lambda x,\Vert E\Vert \le ϵ\}.$$

Los métodos numéricos para el cálculo de los valores propios de una matriz cometen errores debido al redondeo y otros factores. Estos errores pueden describirse mediante la matriz $E$.

De forma más general, considerando espacios de Banach $X,Y$, se puede definir el $ϵ$-pseudoespectro del operador $A:X\to Y$ (denotado por ${\text{sp}}_{ϵ}(A)$) de la siguiente manera:

$${\text{sp}}_{ϵ}(A)=\{\lambda \in ℂ\mid \Vert (A-\lambda I{)}^{-1}\Vert \ge 1/ϵ\},$$

donde, por convenio, se toma $\Vert (A-\lambda I{)}^{-1}\Vert =\mathrm{\infty }$ si $A-\lambda I$ no es invertible.

Enlaces externos

• Lloyd N. Trefethen y Mark Embree: "Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices And Operators", Princeton Univ. Press, Plantilla:ISBN (2005).
• Pseudospectra Gateway / Embree y Trefethen [1]