Punto racional

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En teoría de números y geometría algebraica, un punto racional de una variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas pertenecen a un cuerpo determinado. Si no se menciona el cuerpo, generalmente se entiende el cuerpo de los números racionales. Si se trata del cuerpo de los números reales, un punto racional se denomina más comúnmente punto real.

Comprender los puntos racionales es un objetivo central de la teoría de números y de la geometría diofántica. Por ejemplo, el último teorema de Fermat se puede reformular como: para Plantilla:Math, la curva de Fermat de la ecuación xn+yn=1 no tiene otros puntos racionales que Plantilla:Math, Plantilla:Math y, si Plantilla:Mvar es par, entonces esos puntos son Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Definición

Dado un cuerpo Plantilla:Mvar, y un cuerpo algebraicamente cerrado Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, una variedad afín Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar es el conjunto de ceros comunes en Plantilla:Mvar de una colección de polinomios con coeficientes en Plantilla:Mvar:

f1(x1,…,xn)=0,⋮fr(x1,…,xn)=0.

Estos ceros comunes se denominan puntos de Plantilla:Mvar.

Un Plantilla:Mvar-punto racional (o Plantilla:Mvar-punto) de Plantilla:Mvar es un punto de Plantilla:Mvar que pertenece a Plantilla:Mvar, es decir, una secuencia (a1,…,an) de Plantilla:Mvar elementos de Plantilla:Mvar tales que fj(a1,…,an)=0 para todo Plantilla:Mvar. El conjunto de puntos racionales Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar a menudo se denota como Plantilla:Math.

A veces, cuando se sobrentiende el cuerpo Plantilla:Mvar, o cuando Plantilla:Mvar es el cuerpo Plantilla:Math de los números racionales, se habla de "puntos racionales" en lugar de "Plantilla:Mvar-puntos racionales".

Por ejemplo, los puntos racionales de la circunferencia goniométrica de la ecuación

x2+y2=1

son los pares de números racionales

(ac,bc),

donde Plantilla:Math es una terna pitagórica.

El concepto también tiene sentido en entornos más generales. Una variedad proyectiva Plantilla:Mvar en un espacio proyectivo Plantilla:Math sobre un cuerpo Plantilla:Mvar se puede definir mediante una colección de ecuaciones de polinomios homogéneos en las variables x0,…,xn. Un punto Plantilla:Mvar de Plantilla:Math escrito [a0,…,an], viene dado por una sucesión de elementos Plantilla:Math de Plantilla:Mvar, no todos ceros, en el entendido de que multiplicar todo a0,…,an por el mismo elemento distinto de cero de Plantilla:Mvar da el mismo punto en el espacio proyectivo. Entonces, un punto Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar es también un punto Plantilla:Mvar de Plantilla:Math en el que los polinomios dados se anulan.

De manera más general, sea Plantilla:Mvar un esquema sobre un cuerpo Plantilla:Mvar. Esto significa que se genera un morfismo de esquemas Plantilla:Math. Entonces, un Plantilla:Mvar punto de Plantilla:Mvar significa una sección de este morfismo, es decir, un morfismo Plantilla:Math tal que la composición Plantilla:Mvar es la identidad en Plantilla:Math. Esto concuerda con las definiciones anteriores cuando Plantilla:Mvar es una variedad afín o proyectiva (vista como un esquema sobre Plantilla:Mvar).

Cuando Plantilla:Mvar es una variedad sobre un cuerpo algebraicamente cerrado Plantilla:Mvar, gran parte de la estructura de Plantilla:Mvar está determinada por su conjunto Plantilla:Math de puntos racionales Plantilla:Mvar. Sin embargo, para un cuerpo general Plantilla:Mvar, Plantilla:Math proporciona solo información parcial sobre Plantilla:Mvar. En particular, para una variedad Plantilla:Mvar sobre un cuerpo Plantilla:Mvar y cualquier extensión de cuerpos Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar también determina el conjunto Plantilla:Math de Plantilla:Mvar-puntos racionales de Plantilla:Mvar, es decir, el conjunto de soluciones de las ecuaciones que definen Plantilla:Mvar con valores en Plantilla:Mvar.

Ejemplo: Sea Plantilla:Mvar la curva cónica x2+y2=−1 en el plano afín Plantilla:Math sobre los números reales Plantilla:Math Entonces, el conjunto de puntos reales Plantilla:Math está vacío, porque el cuadrado de cualquier número real no es negativo. Por otro lado, en la terminología de la geometría algebraica, la variedad algebraica Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Math no está vacía, porque el conjunto de puntos complejos Plantilla:Math no está vacío.

De manera más general, para un esquema Plantilla:Mvar sobre el anillo conmutativo Plantilla:Mvar y cualquier Plantilla:Mvar-álgebra conmutativa Plantilla:Mvar, el conjunto Plantilla:Math de puntos Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar significa el conjunto de morfismos Plantilla:Math sobre Plantilla:Math. El esquema Plantilla:Mvar está determinado hasta el isomorfismo por el funtor Plantilla:Math; esta es la filosofía de identificar un esquema con su funtor de puntos. Otra formulación es que el esquema Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar determina un esquema Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar por cambio de base, y los puntos Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar (sobre Plantilla:Mvar) pueden identificarse con los puntos Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar (sobre Plantilla:Mvar).

La teoría de ecuaciones diofánticas tradicionalmente significaba el estudio de puntos enteros, es decir, soluciones de ecuaciones polinomiales en los números enteros Plantilla:Math en lugar de los racionales Plantilla:Math Para ecuaciones polinómicas homogéneas como x3+y3=z3,, los dos problemas son esencialmente equivalentes, ya que cada punto racional se puede escalar para convertirse en un punto entero.

Puntos racionales en curvas

Gran parte de la teoría de números puede verse como el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas, siendo un escenario conveniente las variedades proyectivas suaves. Para curvas proyectivas suaves, el comportamiento de los puntos racionales depende en gran medida del género de la curva.

Género 0

Cada curva proyectiva suave Plantilla:Mvar de género cero sobre un cuerpo Plantilla:Mvar es isomorfa a una curva cónica (de grado 2) en Plantilla:Math Si Plantilla:Mvar tiene un punto racional Plantilla:Mvar, entonces es isomorfa a Plantilla:Math sobre Plantilla:Mvar, por lo que sus puntos racionales Plantilla:Mvar son completamente sobreentendidos.[1] Si Plantilla:Mvar es el cuerpo Plantilla:Math de los números racionales (o más generalmente, un cuerpo de números algebraicos), existe un algoritmo para determinar si una cónica dada tiene un punto racional, basándose en el principio de Hasse: una cónica sobre Plantilla:Math tiene un punto racional si y solo si tiene un punto sobre todas las terminaciones de Plantilla:Math, es decir, sobre Plantilla:Math y todos los cuerpos p-ádicos Plantilla:Math

Género 1

Es más difícil determinar si una curva de género 1 tiene un punto racional. El principio de Hasse falla en este caso: por ejemplo, según Ernst Selmer, la curva cúbica 3x3+4y3+5z3=0 en Plantilla:Math tiene un punto sobre todas las terminaciones de Plantilla:Math pero ningún punto racional.[2] El fallo del principio de Hasse para curvas de género 1 se mide mediante el grupo de Tate-Shafarevich.

Si Plantilla:Mvar es una curva de género 1 con un punto racional Plantilla:Mvar Plantilla:Math, entonces Plantilla:Mvar se llama curva elíptica sobre Plantilla:Mvar. En este caso, Plantilla:Mvar tiene la estructura de un grupo algebraico conmutativo (con Plantilla:Math como elemento cero), por lo que el conjunto Plantilla:Math de puntos racionales Plantilla:Mvar es un grupo abeliano. El teorema de Mordell-Weil dice que para una curva elíptica (o, más generalmente, una variedad abeliana) Plantilla:Mvar sobre un cuerpo numérico Plantilla:Mvar, el grupo abeliano Plantilla:Math está finitamente generado. Los programas de álgebra informática pueden determinar el grupo Plantilla:Math de Mordell-Weil en muchos ejemplos, pero no se sabe si existe un algoritmo que siempre tenga éxito en calcular este grupo. Eso se seguiría de la conjetura de que el grupo Tate-Shafarevich es finito, o de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (también relacionada con el tema).[3]

Género al menos 2

El teorema de Faltings (anteriormente la conjetura de Mordell) dice que para cualquier curva Plantilla:Mvar de género al menos 2 sobre un cuerpo numérico Plantilla:Mvar, el conjunto Plantilla:Math es finito.[4]

Algunos de los grandes logros de la teoría de números equivalen a determinar los puntos racionales en curvas particulares. Por ejemplo, el último teorema de Fermat (probado por Richard Taylor y Andrew Wiles) es equivalente a la afirmación de que para un número entero Plantilla:Mvar al menos 3, los únicos puntos racionales de la curva xn+yn=zn en Plantilla:Math sobre Plantilla:Math son los obvios: Plantilla:Math y Plantilla:Math; Plantilla:Math y Plantilla:Math para Plantilla:Mvar incluso; y Plantilla:Math para Plantilla:Mvar impar. La curva Plantilla:Mvar (como cualquier curva suave de grado Plantilla:Mvar en Plantilla:Math) tiene género (n−1)(n−2)2.

No se sabe si existe un algoritmo para encontrar todos los puntos racionales en una curva arbitraria de género al menos 2 en un cuerpo numérico. Existe un algoritmo que funciona en algunos casos. Su terminación en general se derivaría de las conjeturas de que el grupo Tate-Shafarevich de una variedad abeliana sobre un cuerpo numérico es finito y que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse, en el caso de curvas.[5]

Dimensiones superiores

Variedades con pocos puntos racionales

En dimensiones superiores, un objetivo unificador es la conjetura de Bombieri-Lang de que, para cualquier variedad Plantilla:Mvar de tipo general sobre un cuerpo numérico Plantilla:Mvar, el conjunto de puntos racionales Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar no es una topología de Zariski en Plantilla:Mvar (es decir, los puntos racionales Plantilla:Mvar están contenidos en una unión finita de subvariedades de dimensiones inferiores de Plantilla:Mvar). En la dimensión 1, este es exactamente el teorema de Faltings, ya que una curva es de tipo general si y solo si tiene género al menos 2. Lang también hizo conjeturas más precisas relacionando la finitud de los puntos racionales con la hiperbolicidad de Kobayashi.[6]

Por ejemplo, la conjetura de Bombieri-Lang predice que una hipersuperficie suave de grado Plantilla:Mvar en el espacio proyectivo Plantilla:Math sobre un cuerpo numérico no tiene puntos racionales densos de Zariski si es Plantilla:Math. No se sabe mucho sobre ese caso. El resultado más sólido conocido de la conjetura de Bombieri-Lang es el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas (generalizando el caso de curvas). Es decir, si Plantilla:Mvar es una subvariedad de una variedad abeliana Plantilla:Mvar sobre un cuerpo numérico Plantilla:Mvar, entonces todos los puntos racionales Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar están contenidos en una unión finita de traslaciones de subvariedades abelianas contenidas en Plantilla:Mvar[7] (entonces, si Plantilla:Mvar contiene subvariedades no abelianas trasladadeas de dimensión positiva, entonces Plantilla:Math es finito).

Variedades con muchos puntos racionales

En la dirección opuesta, se dice que una variedad Plantilla:Mvar sobre un cuerpo numérico Plantilla:Mvar tiene puntos racionales potencialmente densos si existe un cuerpo de extensión finito Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar tal que los puntos racionales Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar sean densos de Zariski en Plantilla:Mvar. Frédéric Campana conjeturó que una variedad es potencialmente densa si y solo si tiene una fibración no racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general.[8] Un caso conocido es que cada superficie cúbica en Plantilla:Math sobre un cuerpo numérico Plantilla:Mvar tiene puntos racionales potencialmente densos, porque (más fuertemente) se convierte en racional sobre alguna extensión finita de Plantilla:Mvar (a menos que sea un cono sobre una curva cúbica plana). La conjetura de Campana también implicaría que una superficie K3 Plantilla:Mvar (como una superficie cuártica suave en Plantilla:Math) sobre un cuerpo numérico tiene puntos racionales potencialmente densos. Esto solo se sabe en casos especiales, por ejemplo si Plantilla:Mvar posee una fibración elíptica.[9]

Cabe preguntarse cuándo una variedad tiene un punto racional sin ampliar el cuerpo base. En el caso de una hipersuperficie Plantilla:Mvar de grado Plantilla:Mvar en Plantilla:Math sobre un cuerpo numérico, hay buenos resultados cuando Plantilla:Mvar es mucho más pequeño que Plantilla:Mvar, a menudo basándose en el método del círculo de Hardy-Littlewood. Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski afirma que el principio de Hasse se aplica a hipersuperficies cuádricas sobre un cuerpo numérico (el caso Plantilla:Math). Christopher Hooley demostró el principio de Hasse para hipersuperficies cúbicas suaves en Plantilla:Math sobre Plantilla:Math cuando Plantilla:Math.[10] En dimensiones superiores, también es cierto que: cada cúbica suave en Plantilla:Math sobre Plantilla:Math tiene un punto racional cuando Plantilla:Math, proposición demostrada por Roger Heath-Brown.[11] De manera más general, el teorema de Birch dice que para cualquier entero positivo impar Plantilla:Mvar, existe un entero Plantilla:Mvar tal que para todo Plantilla:Math, cada hipersuperficie de grado Plantilla:Mvar en Plantilla:Math sobre Plantilla:Math tiene un punto racional.

Para hipersuperficies de menor dimensión (en términos de su grado), las cosas pueden ser más complicadas. Por ejemplo, el principio de Hasse falla para la superficie cúbica lisa 5x3+9y3+10z3+12w3=0 en Plantilla:Math sobre Plantilla:Math proposición demostrada por Ian Cassels y Richard Guy.[12] Jean-Louis Colliot-Thélène ha conjeturado que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse para superficies cúbicas. De manera más general, eso debería ser válido para cada variedad racional sobre un cuerpo numérico.[13]

En algunos casos, se sabe que Plantilla:Mvar tiene "muchos" puntos racionales siempre que tiene uno. Por ejemplo, al extender el trabajo de Beniamino Segre y Yuri Manin, János Kollár mostró: para una hipersuperficie cúbica Plantilla:Mvar de dimensión al menos 2 sobre un cuerpo perfecto Plantilla:Mvar con Plantilla:Mvar que no es un cono, Plantilla:Mvar es unirracional sobre Plantilla:Mvar si tiene un punto racional Plantilla:Mvar.[14] En particular, para Plantilla:Mvar infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de puntos racionales Plantilla:Mvar es denso de Zariski en Plantilla:Mvar. La conjetura de Manin es una afirmación más precisa que describiría el número de puntos racionales asintóticos de altura acotada en una variedad de Fano.

Contando puntos sobre cuerpos finitos

Plantilla:AP

Una variedad Plantilla:Mvar sobre un cuerpo finito Plantilla:Mvar tiene solo un número finito de puntos racionales Plantilla:Mvar. Las conjeturas de Weil, demostradas por André Weil en la dimensión 1 y por Pierre Deligne en cualquier dimensión, dan estimaciones sólidas para el número de puntos Plantilla:Mvar en términos de los números de Betti de Plantilla:Mvar. Por ejemplo, si Plantilla:Mvar es una curva proyectiva suave de género Plantilla:Mvar sobre un cuerpo Plantilla:Mvar de orden Plantilla:Mvar (una potencia prima), entonces

||X(k)|−(q+1)|≤2gq.

Para una hipersuperficie suave Plantilla:Mvar de grado Plantilla:Mvar en Plantilla:Math sobre un cuerpo Plantilla:Mvar de orden Plantilla:Mvar, el teorema de Deligne da el límite:[15]

||X(k)|−(qn−1+⋯+q+1)|≤((d−1)n+1+(−1)n+1(d−1)d)q(n−1)/2.

También hay resultados significativos sobre cuándo una variedad proyectiva sobre un cuerpo finito Plantilla:Mvar tiene al menos un punto racional Plantilla:Mvar. Por ejemplo, el teorema de Chevalley-Warning implica que cualquier hipersuperficie Plantilla:Mvar de grado Plantilla:Mvar en Plantilla:Math sobre un cuerpo finito Plantilla:Mvar tiene un punto racional Plantilla:Mvar si Plantilla:Math. Para Plantilla:Mvar suave, esto también se deriva del teorema de Hélène Esnault de que cada variedad proyectiva suave conectada racionalmente en cadena, por ejemplo cada variedad de Fano sobre un cuerpo finito Plantilla:Mvar, tiene un punto racional Plantilla:Mvar.[16]

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Enlaces externos

Plantilla:Control de autoridades

  1. ↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem A.4.3.1.
  2. ↑ Silverman (2009), Remark X.4.11.
  3. ↑ Silverman (2009), Conjecture X.4.13.
  4. ↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem E.0.1.
  5. ↑ Skorobogatov (2001), section 6,3.
  6. ↑ Hindry & Silverman (2000), section F.5.2.
  7. ↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem F.1.1.1.
  8. ↑ Campana (2004), Conjecture 9.20.
  9. ↑ Hassett (2003), Theorem 6.4.
  10. ↑ Hooley (1988), Theorem.
  11. ↑ Heath-Brown (1983), Theorem.
  12. ↑ Colliot-Thélène, Kanevsky & Sansuc (1987), section 7.
  13. ↑ Colliot-Thélène (2015), section 6.1.
  14. ↑ Kollár (2002), Theorem 1.1.
  15. ↑ Katz (1980), section II.
  16. ↑ Esnault (2003), Corollary 1.3.
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