Segundo Teorema de Minkowski

En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado en la geometría de los números sobre los valores tomados por una norma en un látice y el volumen de su célula fundamental.

Contexto

Sea Plantilla:Math un cuerpo cerrado convexo centralmente simétrico de volumen positivo y finito en un espacio Euclídeo n-dimensional ℝⁿ. El gauge o funcional de Minkowski de distancia g respecto a K está definido por

$g(x)=\inf \{\lambda \in ℝ:x\in \lambda K\}.$

Conversamente, dada una norma Plantilla:Math en ℝⁿ, definimos Plantilla:Math como

$K=\{x\in {ℝ}^n:g(x)\le 1\}.$

Sea Plantilla:Math un látice, o enrejado en ℝⁿ. Los mínimos sucesivos de K o Plantilla:Math en Γ están definidos dejanto que el k-ésimo mínimo sucesivo Plantilla:Math sea el ínfimo de los números λ tal que Plantilla:Math contiene k vectores linearmente independientes de Plantilla:Math. Tenemos Plantilla:Math.

Enunciado

Los mínimos sucesivos satisfacen lo siguiente

$\frac{2^n}{n!}\mathrm{vol}({ℝ}^n/\mathrm{\Gamma })\le {\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\mathrm{vol}(K)\le 2^n\mathrm{vol}({ℝ}^n/\mathrm{\Gamma }).$

Prueba

Una base de vectores linearmente independientes del enrejado b₁ , b₂ , ... b_n puede ser definida por g(b_j) = λ_j .

La cuota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2n con vértices en ±b_j/ λ_j , el cual tiene un interior contenido en Plantilla:Math y un volumen que es Plantilla:Math/n!λ₁ λ₂...λ_n veces un múltiplo entero de una célula primitiva del enrejado (lo cual puede verse escalando el politopo por un factor λ_j en la dirección de cada vector base para obtener 2ⁿ n-simplejos con vectores en el enrejado).

Para probar la cuota superior, consideremos las funciones Plantilla:Math que envían puntos Plantilla:Math en $K$ al centroide del subconjunto de puntos en $K$ que puede ser escrito como $x+{\sum }_{i=1}^{j-1}{a}_i{b}_i$ para algunos números reales $a_i$. Entonces, la transformaciónd de coordenadas $x^{\prime }=h(x)={\sum }_{i=1}^n({\lambda }_i-{\lambda }_{i-1})f_i(x)/2$ tiene un determinante jacobiano $J={\lambda }_1{\lambda }_2\dots {\lambda }_n/2^n$. Si $p$ y $q$ están en el interior de $K$ y $p-q={\sum }_{i=1}^k{a}_i{b}_i$ (con $a_k\ne 0$), entonces $(h(p)-h(q))={\sum }_{i=0}^k{c}_i{b}_i\in {\lambda }_{k}K$ con $c_k={\lambda }_k{a}_k/2$, donde la inclusión en ${\lambda }_{k}K$ (específicamente el interior de ${\lambda }_{k}K$) se debe a convexidad y simetría. Pero los puntos de enrejado en el interior de ${\lambda }_{k}K$ son, por definición de ${\lambda }_k$, siempre expresables como combinación lineal de $b_1,b_2,\dots b_{k-1}$, así que cualesquiera dos puntos distintos de $K^{\prime }=h(K)=\{x^{\prime }|h(x)=x^{\prime }\}$, estos no pueden ser separados por un vector del enrejado. Por tanto, $K^{\prime }$ tiene que estar encerrado en una célula primitiva del enrejado (la cual tiene volumen $\text{vol}({ℝ}^n/\mathrm{\Gamma })$), y por consiguiente $\text{vol}(K)/J=\text{vol}(K^{\prime })\le \text{vol}({ℝ}^n/\mathrm{\Gamma })$.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
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