Subespacio (topología)

Sea $(X,𝒯)$ un espacio topológico.

$S\subset X$ será un subespacio de $X\iff S$ es un espacio topológico para la topología inducida por $X$ en $S$, llamada topología del subespacio, topología inducida, topología relativa o topología traza.

Definición

Con $S$ definido arriba, definimos la topología del subespacio, ${𝒯}_{𝒮}$, sobre $S$ como

${𝒯}_{𝒮}=\{S\cap U|U\in 𝒯\}$.

Es decir, un subconjunto de S es abierto si es intersección de S con algún abierto de X.

Ejemplo

En la recta real, $ℝ$, con su topología habitual ...

• La topología del subespacio $\mathbb{N}$, subespacio de $ℝ$, es la topología discreta.

Propiedades

• Todo conjunto cerrado es la intersección de S con un conjunto cerrado de X.
• Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) S es un subespacio abierto de X.

ii) Un subespacio de S es abierto en S.

iii) El subespacio de S es abierto en X.

• Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) S es un subespacio cerrado de X.

ii) Un subespacio de S es cerrado en S.

iii) El subespacio de S es cerrado en X.

• $B$ es una base para $X\iff B_S=(S\cap U|U\in B)$ es una base para el subespacio $S\subset X$.
• La topología inducida por un espacio métrico a un subconjunto por la restricción de la métrica del espacio a ese subconjunto es la topología inducida del subespacio para ese subconjunto.

Véase también

• la noción dual espacio cociente

Referencias

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6