Subespacio invariante

Gráfica de dos vectores y sus respectivas transformaciones mediante una rotación respecto al eje z. El vector contenido en el plano xy (amarillo) tiene una transformada (verde) en el mismo plano

En álgebra lineal, un subespacio invariante es un subespacio vectorial que contiene las transformadas de sus vectores, dada la aplicación lineal correspondiente.

Si se tienen un subespacio S y una aplicación f, de manera que las transformadas de los vectores de S a través de f pertenecen al mismo S, se dice que el subespacio S es f-invariante, o invariante por f.

Definición

Sea $𝕍$ un conjunto de vectores sobre el cual está definida una estructura de espacio vectorial. Dado un endomorfismo $f:𝕍\to 𝕍$ se dice que Plantilla:Definición En otras palabras, $S$ es un subespacio invariante si $f(S)\subseteq S$.

Ejemplos

• Consideremos $𝕍={ℝ}^3$ y f una aplicación lineal que rota un vector dado alrededor del eje z. Notemos que el plano xy (llamémoslo $S=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:z=0\}$) es un subespacio de $𝕍$.

Al rotar un vector cualquiera de este plano alrededor del eje z se obtiene otro vector en el mismo plano. Es decir que para todo $𝐬\in S$ se tiene que $f(𝐬)\in S$, o bien, si transformamos cualquier vector contenido en xy obtenemos otro vector también contenido en este plano. Por lo tanto, el plano S es f-invariante.

• El núcleo de una aplicación lineal f es un subespacio f-invariante.

Plantilla:Demostración

• La imagen de una aplicación lineal también es un subespacio invariante frente la aplicación en cuestión.

Plantilla:Demostración

• Consideremos ahora una aplicación lineal f con un vector propio v. El subespacio generado por v es un subespacio f-invariante.

Plantilla:Demostración

• Dado un polinomio $p\in 𝕂[t]$, el núcleo y la imagen de la aplicación resultante de aplicar $p$ a $f$, $\ker p(f)$ y $\mathrm{Im}p(f)$, son subespacios $f$-invariantes.

• Vamos a un ejemplo más concreto, consideremos la transformación lineal $T:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ definida como T(x)=A x donde $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& -4& 5\end{array}\right]$ entonces el subespacio generado por el vector (1,0,0) es un subespacio invariante frente a T, ya que el vector mencionado es un autovector de T (está asociado al autovalor 1, se ve que $T\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ).
• Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.

Simetrías

• Consideremos el plano R² y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es T-invariante, mientras que (1,1) no.
• Consideremos el plano R² y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R² es invariante frente a dicha reflexión.

Observación

Notemos que la palabra «invariante» puede generar confusión en el siguiente sentido: un subespacio puede ser invariante y sin embargo «variar» bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es $T(S)\subseteq S$ y no $T(S)=S$.

Descomposición en subespacios invariantes

Dado cualquier endomorfismo de un espacio vectorial $E$, siempre se puede descomponer $E$ como suma directa de subespacios invariantes por $f$. En esta sección veremos la demostración de ello.

Notemos en primer lugar que todo endomorfismo de $E$ tiene algún polinomio anulador. Por ejemplo, por el teorema de Cayley-Hamilton el polinomio característico de $f$ lo es. Además, hace falta tener en cuenta que para cualquier polinomio, $\ker p(f)$ es $f$-invariante (está demostrado más arriba). Por último, necesitaremos utilizar que todo polinomio se puede descomponer en factores irreducibles y el teorema de Bézout aplicado a polinomios, que afirma que si $d$ es el máximo común divisor de dos polinomios $p_1,p_2\in 𝕂[t]$, entonces existen polinomios $q_1,q_2\in 𝕂[t]$ tales que $d=q_1{p}_1+q_2{p}_2$.

Con todo esto, ya podemos enunciar y demostrar el teorema importante: Plantilla:Demostración Como corolario de este teorema tenemos que $E$ se puede descomponer como suma directa de subespacios $f$-invariantes, pues basta coger $p\in 𝕂[t]$ anulador de $f$. El polinomio característico, por ejemplo, por el teorema de Cayley-Hamilton. Así, $\ker p(f)=\ker 0=E$ y, por el teorema anterior, $E=\ker p_1(f)\oplus \dots \oplus \ker p_r(f)$ y cada uno de esos núcleos es $f$-invariante, por ser el núcleo de un polinomio aplicado a $f$.

Véase también

• Forma canónica de Jordan
• Vector propio y valor propio
• Problema del subespacio invariante