Núcleo (matemática)

Núcleo e imagen de un operador lineal $L:V\to W$.

En matemáticas y especialmente en álgebra lineal, dada la transformación lineal $L:V\to W$, el kernel o núcleo de $L$, denotado por $\mathrm{Ker}(L)$ o $\mathrm{Nuc}(L)$, se define como el conjunto de todos los vectores en $V$ cuya imagen bajo $L$ sea el vector nulo de $W$, es decir, el $\mathrm{Ker}(L)$ se define como

$\mathrm{Ker}(L)=\{\overrightarrow{v}\in V:L(\overrightarrow{v})={\overrightarrow{0}}_W\}$

Ejemplos

Considere la función

$\begin{array}{cc}f:{ℝ}^2& \to ℝ\\ (x,y)& \mapsto x-y\end{array}$

que es lineal cumple que para $\alpha \in ℝ$ y $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {ℝ}^2$

$\begin{array}{cc}f(\alpha (x_1,y_1)+(x_2,y_2))& =f(\alpha x_1+x_2,\alpha y_1+y_2)\\ & =(\alpha x_1+x_2)-(\alpha y_1-y_2)\\ & =(\alpha x_1-\alpha y_1)+(x_2-y_2)\\ & =\alpha (x_1-y_1)+(x_2-y_2)\\ & =\alpha f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)\end{array}$.

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden pues

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ker}(f)& =\{(x,y)\in {ℝ}^2:f(x,y)=0\}\\ & =\{(x,y)\in {ℝ}^2:x-y=0\}\\ & =\{(x,y)\in {ℝ}^2:x=y\}\\ & =\{(x,x)\in {ℝ}^2:x\in ℝ\}\end{array}$

en concreto el $\mathrm{Ker}(f)$ es el conjunto:

$\mathrm{Ker}(f)=\{(x,x)\in {ℝ}^2:x\in ℝ\}$

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta $y=x$ en ${ℝ}^2$.

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar $a\cdot x$ tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$,

que equivale a la ecuación lineal:

$x_1+2x_2+3x_3=0$ .

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: $ℒ((-2,1,0),(-3,0,1))$.

Propiedades

Dado un operador lineal $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ con matriz asociada $A$, el núcleo es un subespacio de ${ℝ}^n$, cuya dimensión se denomina nulidad de $A$, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz $A$. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Véase también

• Conjunto imagen.
• Teorema rango-nulidad.

Enlaces externos

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