Tabla de series newtonianas

En matemáticas, una serie newtoniana, nombrada así en referencia a Isaac Newton, es una sucesión matemática $a_{n}$ escrita en la forma

f (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\binom{s}{n}) a_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- s)_{n}}{n!} a_{n}

donde

(\binom{s}{n})

es el coeficiente binomial y $(s)_{n}$ es el factorial ascendente. Las series newtonianas a menudo aparecen en relaciones de la forma que se ve en el cálculo umbral.

Lista

El teorema del binomio generalizado afirma que

(1 + z)^{s} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{s}{n}) z^{n} = 1 + (\binom{s}{1}) z + (\binom{s}{2}) z^{2} + \dots .

Una prueba de esta identidad se puede obtener mostrando que satisface la ecuación diferencial

(1 + z) \frac{d (1 + z)^{s}}{d z} = s (1 + z)^{s} .

La función digamma es:

ψ (s + 1) = - γ - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} (\binom{s}{n}) .

y los números de Stirling de segunda especie vienen dados por la suma finita

{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}} = \frac{1}{k!} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) j^{n} .

Esta fórmula es un caso especial de la k-ésima diferencia finita del monomio xⁿ evaluado en x = 0:

Δ^{k} x^{n} = \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) (x + j)^{n} .

Una identidad relacionada constituye la base de la integral de Nörlund–Rice:

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{(- 1)^{k}}{s - k} = \frac{n!}{s (s - 1) (s - 2) \dots (s - n)} = \frac{Γ (n + 1) Γ (s - n)}{Γ (s + 1)} = B (n + 1, s - n)

donde $Γ (x)$ es la función gamma y $B (x, y)$ es la función beta.

Las funciones trigonométricas tienen identidades umbrales:

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\binom{s}{2 n}) = 2^{s / 2} \cos \frac{π s}{4}

y

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (\binom{s}{2 n + 1}) = 2^{s / 2} \sin \frac{π s}{4}

La naturaleza umbral de estas identidades es un poco más clara al escribirlas en términos del factorial descendente $(s)_{n}$ . Los primeros términos de la serie del seno son

s - \frac{(s)_{3}}{3!} + \frac{(s)_{5}}{5!} - \frac{(s)_{7}}{7!} + \dots

que se puede reconocer como similar a la serie de Taylor para la función $\sin x$ , con (s) _n en lugar de xⁿ.

En teoría analítica de números es de interés la suma

\sum_{k = 0} B_{k} z^{k},

donde B es el número de Bernoulli. Empleando la función generadora, su suma de Borel se puede evaluar como

\sum_{k = 0} B_{k} z^{k} = \int_{0}^{\infty} e^{- t} \frac{t z}{e^{t z} - 1} d t = \sum_{k = 1} \frac{z}{(k z + 1)^{2}} .

La relación general da la serie de Newton

\sum_{k = 0} \frac{B_{k} (x)}{z^{k}} \frac{(\binom{1 - s}{k})}{s - 1} = z^{s - 1} ζ (s, x + z),

Plantilla:Citation needed

donde $ζ$ es la función zeta de Hurwitz y $B_{k} (x)$ son polinomios de Bernoulli. La serie no converge, pero la identidad se mantiene formalmente.

Otra identidad es

\frac{1}{Γ (x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{x - a}{k}) \sum_{j = 0}^{k} \frac{(- 1)^{k - j}}{Γ (a + j)} (\binom{k}{j}),

que converge para $x > a$ . Esto se deduce de la forma general de una serie de Newton para nodos equidistantes (cuando existe, es decir, es convergente)

f (x) = \sum_{k = 0} (\binom{\frac{x - a}{h}}{k}) \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) f (a + j h) .

Véase también

Referencias

Philippe Flajolet y Robert Sedgewick, "Plantilla:Enlace roto " Theoretical Computer Science '' 144 (1995) pp 101-124.

Plantilla:Control de autoridades

Tabla de series newtonianas

Lista

Véase también

Referencias

Menú de navegación

Buscar