Tensor de Bel-Robinson

En la relatividad general y en la geometría diferencial, el tensor de Bel-Robinson está definido en la notación de índices abstracta por:

$T_{abcd}=C_{aecf}{C}_b{}^e{}_d{}^f+\frac{1}{4}{ϵ}_{ae}{}^{hi}{ϵ}_b{}^{ej}{}_k{C}_{hicf}{C}_j{}^k{}_d{}^f$

Alternativamente,

$T_{abcd}=C_{aecf}{C}_b{}^e{}_d{}^f-\frac{3}{2}{g}_{a[b}{C}_{jk]cf}{C}^{jk}{}_d{}^f$

donde $C_{abcd}$ es el tensor de Weyl. Fue introducido por Lluís Bel en 1959. El tensor de Bel-Robinson se construye a partir del tensor de Weyl de forma análoga a la forma en que el tensor de energía-impulso electromagnético se construye a partir del tensor de campo electromagnético. Al igual que el tensor electromagnético de tensión-energía, el tensor de Bel-Robinson es totalmente simétrico y carece de traza:

$\begin{array}{cc}{T}_{abcd}& =T_{(abcd)}\\ T^a{}_{acd}& =0\end{array}$

En la relatividad general, no existe una definición única de la energía local del campo gravitatorio. El tensor de Bel-Robinson es una posible definición de energía local, ya que se puede demostrar que siempre que el tensor de Ricci desaparece (es decir, en el vacío), el tensor de Bel-Robinson no tiene divergencia:

${\mathrm{\nabla }}^a{T}_{abcd}=0$

Propiedades

• El tensor de Bel-Robinson es completamente simétrico (es invariante respecto al intercambio de índices).
• Su traza (calculada respecto a cualquier par de índices, ya que el tensor es simétrico) es nula:

$T^a{}_{acd}=0$,

• En el vacío, es decir cuando el tensor de curvatura es cero, la divergencia del tensor es cero:

$D^a{T}_{abcd}=0$.

• La composición temporal del tensor, es decir, la cantidad $T_{abcd}{u}^a{u}^b{u}^c{u}^d$, o u es la cuadrivelocidad de un observador, es positiva o nula, evocando a una densidad de energía.